Integrale: improprio e valor principale

[ricky_4]

Salve a tutti..

avrei bisogno di un chiarimento sulla differenza tra integrale improprio e integrale a valor principale (o parte principale, il mio prof lo chiama in tutti e 2 i modi) perchè temo che nella sua spiegazione sia stato un po' confusionario fino a confonderli..

Grazie in anticipo

[gugo82]

Potrebbe esserti d'aiuto una lettura di questo post semirecente.

Fatte le opportune modifiche, il ragionamento si adatta anche ad integrali di tipo diverso (ad esempio con integrandi discontinui in un punto al finito interno all'intervallo d'integrazione).

[ricky_4]

quindi.. se ho capito bene..

l'integrale di $x/(1+x^2)$ darebbe una forma indeterminata (se calcolata attraverso l'integrale improprio) e 0 (se calcolata attraverso quello in valor principale)?

[ViciousGoblin]

"ricky_4":quindi.. se ho capito bene..

l'integrale in senso improprio di $x/(1+x^2)$ darebbe una forma indeterminata (se calcolata attraverso l'integrale improprio) e 0 (se calcolata attraverso quello in valor principale)?

L'integrale improprio è la somma di due limiti ed esiste se e solo se esistono finiti entrambi.

L'integrale nel senso del valore principale è il limite della (di un'opportuna) somma

Nel caso in esame i limiti sarebbero
$\lim_{c\to-\infty}\int_c^0\frac{x}{1+x^2}dx=-\infty$ e $\lim_{c\to+\infty}\int_0^c\frac{x}{1+x^2}dx=+\i\nfty$ e quindi $\frac{x}{1+x^2}$ non ha integrale improprio.
Nel secondo caso si tratta di calcolare
$\lim_{c\to+\infty}(\int_{-c}^0\frac{x}{1+x^2}dx+\int_0^c\frac{x}{1+x^2}dx)=\lim_{c\to+\infty}0=0$ e quindi $\frac{x}{1+x^2}$ ha integrale nullo nel senso del valore principale.

Nota che se $f$ ha integrale improprio allora quest'ultimo coincide con l'integrale nel senso del valore principale in quanto
$\lim_{c\to+\infty}(\int_{-c}^0 f(x)dx+\int_0^c f(x)dx)=\lim_{c\to+\infty}\int_{-c}^0 f(x) dx+\lim_{c\to+\infty}\int_{0}^c f(x) dx=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx$
(a causa dei teoremi sui limiti dato che il limite che si deve calcolare NON è una forma indeterminata). Però sapere che esiste l'integrale improprio dice di più, per esempio si ha:
$\lim_{c\to+\infty}(\int_{-c^2}^0 f(x)dx+\int_0^c f(x)dx)=\lim_{c\to+\infty}\int_{-c^2}^0 f(x) dx+\lim_{c\to+\infty}\int_{0}^c f(x) dx=\lim_{c'\to+\infty}\int_{-c'}^0 f(x) dx+\lim_{c\to+\infty}\int_{0}^c f(x) dx=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx$
o più in generale, se $C'(c)\to-\infty$ e $C''(c)\to+\infty$ (per $c\to+\infty$) allora
$\lim_{c\to+\infty}(\int_{C'(c)}^0 f(x)dx+\int_0^{C''(c)} f(x)dx)=\lim_{c\to+\infty}\int_{C'(c)}^0 f(x) dx+\lim_{c\to+\infty}\int_{0}^{C''(c)} f(x) dx=\lim_{c'\to+\infty}\int_{-c'}^0 f(x) dx+\lim_{c''\to+\infty}\int_{0}^{c''} f(x) dx=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx$.

Questo non vale nel caso dell'integrale nel senso del valore principale. Per esempio, si è visto che $(v.p.)\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x}{1+x^2}dx=0$ MA
$\lim_{c\to+\infty}(\int_{-c}^0\frac{x}{1+x^2}dx+\int_0^{2c}\frac{x}{1+x^2}dx)=\lim_{c\to+\infty}([\ln\sqrt{1+x^2}]_{-c}^0+[\ln\sqrt{1+x^2}]_0^{2c})=\lim_{c\to+\infty}(\ln\sqrt{\frac{1+4c^2}{1+c^2}})=\ln(2)\ne0$
OPPURE
$\lim_{c\to+\infty}(\int_{-c}^0\frac{x}{1+x^2}dx+\int_0^{c^2}\frac{x}{1+x^2}dx)=\lim_{c\to+\infty}([\ln\sqrt{1+x^2}]_{-c}^0+[\ln\sqrt{1+x^2}]_0^{c^2})=\lim_{c\to+\infty}(\ln\sqrt{\frac{1+c^4}{1+c^2}})=+\infty$

Quindi l'integrale nel senso vel valore principale è assai "meno stabile" - ciò nonostante torna utile in varie questioni.

[ricky_4]

grazie mille, spiegazioni più che esaurienti!!