Integrale improprio e convergenza
Ciao, ho qualche problema ancora con le risoluzioni degli integrali impropri, soprattutto quando si deve verificare prima la convergenza per poi ovviamente dare il valore a cui esso converge.
Ho l'integrale
$ int_(-1)^(1) 1/(sqrt|x|*(x-4)) dx $
Allora prima di tutto calcolo il dominio della f(x) integranda.
Ho che
$sqrt|x|*(x-4) != 0 rArr { ( x != 0 ),( x !=4 ):} $
Per cui considerando l'insieme chiuso $[-1 ; 1]$ ho una discontinuità in 0 e perciò l'integrale è improprio di 1^ specie.
Calcolo il modulo:
$sqrt|x| = { ( sqrtx rarr x>0 ),( sqrt(-x) rarr x<0 ):} $
Ora essendo l'integrale improprio, non posso studiarlo singolarmente ma devo considerare i due integrali propri
$ int_(-1)^(0) 1/(sqrt(-x)*(x-4)) dx $ = $ lim_(e->0^+) int_(-1)^(0-e) 1/(sqrt(-x)*(x-4)) dx $
ed
$ int_(0)^(1) 1/(sqrt(x)*(x-4)) dx $ = $ lim_(e->0^+) int_(0+e)^(1) 1/(sqrt(x)*(x-4)) dx $
E a questo punto dovrei verificare se i due integrali convergano. Idee?
Ho l'integrale
$ int_(-1)^(1) 1/(sqrt|x|*(x-4)) dx $
Allora prima di tutto calcolo il dominio della f(x) integranda.
Ho che
$sqrt|x|*(x-4) != 0 rArr { ( x != 0 ),( x !=4 ):} $
Per cui considerando l'insieme chiuso $[-1 ; 1]$ ho una discontinuità in 0 e perciò l'integrale è improprio di 1^ specie.
Calcolo il modulo:
$sqrt|x| = { ( sqrtx rarr x>0 ),( sqrt(-x) rarr x<0 ):} $
Ora essendo l'integrale improprio, non posso studiarlo singolarmente ma devo considerare i due integrali propri
$ int_(-1)^(0) 1/(sqrt(-x)*(x-4)) dx $ = $ lim_(e->0^+) int_(-1)^(0-e) 1/(sqrt(-x)*(x-4)) dx $
ed
$ int_(0)^(1) 1/(sqrt(x)*(x-4)) dx $ = $ lim_(e->0^+) int_(0+e)^(1) 1/(sqrt(x)*(x-4)) dx $
E a questo punto dovrei verificare se i due integrali convergano. Idee?
Risposte
Tre parole: ordine di infinito.
"gugo82":
Tre parole: ordine di infinito.
Non ho capito. Prima di calcolare gli integrali dovrei utilizzare qualche criterio di convergenza.
Direi proprio di sì, anche perché gli integrali impropri che si calcolano “a mano” sono pochini…
"gugo82":
Direi proprio di sì, anche perché gli integrali impropri che si calcolano “a mano” sono pochini…
Però non so come procedere.
Come si comporta la funzione in $0$?
"Obidream":
Come si comporta la funzione in $0$?
Beh ho $n/0$ e quindi la funzione è divergente positivamente in entrambi gli integrali. Ma non credo che studiare la convergenza o divergenza della funzione sia utile in qualche modo, o sbaglio?
O forse mi vuoi dire che studiare la convergenza di quegli integrali è come studiare in qualche modo la convergenza degli integrali
$ int_(-1)^(0) +oo dx $ = $ lim_(e->0^+) int_(-1)^(0-e) +oo dx $
ed
$ int_(0)^(1) +oo dx $ = $ lim_(e->0^+) int_(0+e)^(1) +oo dx $
?
Hai studiato i criteri di convergenza per gli integrali impropri?
Che ti propone il libro?
Che ti propone il libro?
"Jaeger90":
[quote="Obidream"]Come si comporta la funzione in $ 0 $?
Beh ho $ n/0 $ e quindi la funzione è divergente positivamente in entrambi gli integrali. Ma non credo che studiare la convergenza o divergenza della funzione sia utile in qualche modo, o sbaglio?
O forse mi vuoi dire che studiare la convergenza di quegli integrali è come studiare in qualche modo la convergenza degli integrali
$ int_(-1)^(0) +oo dx $ = $ lim_(e->0^+) int_(-1)^(0-e) +oo dx $
ed
$ int_(0)^(1) +oo dx $ = $ lim_(e->0^+) int_(0+e)^(1) +oo dx $
?[/quote]
No, allora intendo una cosa del genere: tu dalla teoria sai o comunque puoi facilmente provare questo:
$int_(a)^(b) 1/(b-x)^\alpha dx$
Se $\alpha >= 1$ diverge
Se $\alpha < 1$ converge
L'idea del confronto asintotico è di prendere la parte principale della funzione, in questo caso per $x->0$ e confrontarla coi valori di sopra. Sai trovare la parte principale della tua integranda per $x->0$?
"Obidream":
$int_(a)^(b) 1/(b-x)^\alpha dx$
Se $\alpha >= 1$ diverge
Se $\alpha < 1$ converge
Non ho mai visto questa cosa. Ma è nel caso in cui sia b o a ad essere escluso?
Cosa intendi con parte principale? Non riesco proprio a seguirti.
"gugo82":
Hai studiato i criteri di convergenza per gli integrali impropri?
Che ti propone il libro?
Ciao Jaeger90,
Questo mi sembra piuttosto strano... Possibile che il tuo libro di testo od il tuo professore non te ne abbiano parlato quando hanno trattato l'argomento degli integrali impropri?
[hide="Testo nascosto perchè contiene la soluzione completa dell'esercizio."]Comunque, facendo riferimento all'integrale improprio
$\int_0^1 1/(sqrt{x}(x - 4)) \text{d} x $
(l'altro si tratta similmente, dopo un opportuno cambiamento di variabile) è evidente che il problema è in $0$ dove si comporta come $ \int_0^1 1/sqrt{x} \text{d} x $ e pertanto è convergente per confronto con l'integrale improprio notevole seguente:
$\int_0^b 1/x^p \text{d}x $
che converge per $p < 1 $ e diverge per $p >= 1 $
Ciò detto, comunque l'integrale improprio proposto è uno di quei pochini di cui ha scritto gugo82 che si possono calcolare direttamente. Infatti, ponendo $t := \sqrt{x} \implies \text{d}t = 1/(2\sqrt{x}) \text{d}x $ e facendo riferimento all'integrale indefinito si ha:
$ \int 1/(sqrt{x}(x - 4)) \text{d} x = 2 \int 1/(t^2 - 4) \text{d}t = 1/2 \int 1/(t - 2) \text{d}t - 1/2 \int 1/(t + 2) \text{d}t = 1/2 ln(2 - t) - 1/2 ln(2 + t) + c = $
$ = 1/2 ln(2 - \sqrt{x}) - 1/2 ln(2 + \sqrt{x}) + c = 1/2 ln(\frac{2 - \sqrt{x}}{2 + \sqrt{x}}) + c $
Perciò si ha:
$\int_0^1 1/(sqrt{x}(x - 4)) \text{d} x = [1/2 ln(\frac{2 - \sqrt{x}}{2 + \sqrt{x}})]_0^1 = 1/2 ln(1/3) $[/hide]
"Jaeger90":
Non ho mai visto questa cosa.
Questo mi sembra piuttosto strano... Possibile che il tuo libro di testo od il tuo professore non te ne abbiano parlato quando hanno trattato l'argomento degli integrali impropri?
[hide="Testo nascosto perchè contiene la soluzione completa dell'esercizio."]Comunque, facendo riferimento all'integrale improprio
$\int_0^1 1/(sqrt{x}(x - 4)) \text{d} x $
(l'altro si tratta similmente, dopo un opportuno cambiamento di variabile) è evidente che il problema è in $0$ dove si comporta come $ \int_0^1 1/sqrt{x} \text{d} x $ e pertanto è convergente per confronto con l'integrale improprio notevole seguente:
$\int_0^b 1/x^p \text{d}x $
che converge per $p < 1 $ e diverge per $p >= 1 $
Ciò detto, comunque l'integrale improprio proposto è uno di quei pochini di cui ha scritto gugo82 che si possono calcolare direttamente. Infatti, ponendo $t := \sqrt{x} \implies \text{d}t = 1/(2\sqrt{x}) \text{d}x $ e facendo riferimento all'integrale indefinito si ha:
$ \int 1/(sqrt{x}(x - 4)) \text{d} x = 2 \int 1/(t^2 - 4) \text{d}t = 1/2 \int 1/(t - 2) \text{d}t - 1/2 \int 1/(t + 2) \text{d}t = 1/2 ln(2 - t) - 1/2 ln(2 + t) + c = $
$ = 1/2 ln(2 - \sqrt{x}) - 1/2 ln(2 + \sqrt{x}) + c = 1/2 ln(\frac{2 - \sqrt{x}}{2 + \sqrt{x}}) + c $
Perciò si ha:
$\int_0^1 1/(sqrt{x}(x - 4)) \text{d} x = [1/2 ln(\frac{2 - \sqrt{x}}{2 + \sqrt{x}})]_0^1 = 1/2 ln(1/3) $[/hide]
"pilloeffe":
Ciao Jaeger90,
[quote="Jaeger90"]Non ho mai visto questa cosa.
Questo mi sembra piuttosto strano... Possibile che il tuo libro di testo od il tuo professore non te ne abbiano parlato quando hanno trattato l'argomento degli integrali impropri?[/quote]
Allora... il mio libro non parla proprio di criteri di convergenza degli integrali ma piuttosto dei criteri di confronto e d'integrabilità.. l'unica volta che nomina la convergenza degli integrali dice che si può utilizzare il criterio di integrabilità per stabilire se un integrale è convergente. Per questo mi affido a qualche spiegazione online per questo argomento.
Non è per cattiveria, ma non ne so così tanto da improvvisare una spiegazione da 0 su un argomento che è piuttosto delicato. Posso passarti degli appunti reperibili online o cose del genere, ma per questo genere di materiale sarebbe meglio che ti facessi riferimento a quello messo a disposizione dal tuo docente no?
"Obidream":
Non è per cattiveria, ma non ne so così tanto da improvvisare una spiegazione da 0 su un argomento che è piuttosto delicato. Posso passarti degli appunti reperibili online o cose del genere, ma per questo genere di materiale sarebbe meglio che ti facessi riferimento a quello messo a disposizione dal tuo docente no?
Sto usando proprio il testo del docente.
È solo un problema di terminologia. I "criteri di integrabilità" sono dei metodi basati sul confronto della funzione integranda con delle funzioni standard, che si possono integrare esplicitamente. Il tipico criterio di integrabilità su \([0, 1]\) è il confronto con \(1/|x|^\alpha\); se
\[
|f(x)|\le \frac{C}{|x|^\alpha}, \]
e \(\alpha <1, \) allora
\[
\int_0^1 |f(x)|\, dx\quad \text{ è convergente, }\]
perché
\[
\int_0^1\frac{dx}{x^\alpha} = \frac{1}{1-\alpha}, \]
è un integrale convergente. Si può poi ricavare l'analogo criterio di divergenza, e i criteri in un intorno di \(\infty\).
In conclusione, anche se sul libro non ci sono scritte proprio le tre parole "criterio di integrabilità", sicuramente c'è tutto il materiale minimo indispensabile per affrontare questi problemi.
\[
|f(x)|\le \frac{C}{|x|^\alpha}, \]
e \(\alpha <1, \) allora
\[
\int_0^1 |f(x)|\, dx\quad \text{ è convergente, }\]
perché
\[
\int_0^1\frac{dx}{x^\alpha} = \frac{1}{1-\alpha}, \]
è un integrale convergente. Si può poi ricavare l'analogo criterio di divergenza, e i criteri in un intorno di \(\infty\).
In conclusione, anche se sul libro non ci sono scritte proprio le tre parole "criterio di integrabilità", sicuramente c'è tutto il materiale minimo indispensabile per affrontare questi problemi.
"Jaeger90":
Sto usando proprio il testo del docente.
Buttalo via...
Ho trovato in rete un paio di link che potrebbero tornarti utili:
http://calvino.polito.it/~terzafac/Corsi/analisi1/pdf/impropri-svolti.pdf
http://paola-gervasio.unibs.it/Analisi1/IntegraliImpropri1516.pdf
Poi immagino se ne possano trovare altri, ma questi mi sembrano ben fatti...
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