Integrale improprio di funzione oscillante

[keccogrin-votailprof]

Dimostrare che:\(\displaystyle L=\int_{0}^{1}\frac{1}{x} |cos(\frac{1}{x^2})|dx =+ \infty \).

1°strada:
Usando la sostituzione \(\displaystyle y=\frac{1}{x^2} \) arrivo a \(\displaystyle L=\frac{1}{2}\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{y}|cos(y)|dy \), ma maggiorando con la stessa funzione priva di modulo, ottengo un integrale convergente e non mi serve a niente...

2°strada:
Togliendo subito di mezzo il valore assoluto, posso più facilmente integrare per parti (forse potevo farlo anche prima?):
\(\displaystyle L\geq \int_{0}^{1}\frac{1}{x} cos(\frac{1}{x^2})dx = [log(x)cos(\frac{1}{x^2})]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1}\frac{log(x)}{x^3}sin(\frac{1}{x^2})dx \)
e siccome il primo pezzo mi viene \(\displaystyle +\infty \) e nel secondo pezzo posso usare \(\displaystyle sin(\frac{1}{x^2})\leq +1 \), ottengo:
\(\displaystyle L\geq +\infty -2\int_{0}^{1}\frac{logx}{x^3}dx = +\infty +2\int_{0}^{1}\frac{log(\frac{1}{x})}{x^3}dx \)
sostituendo ora \(\displaystyle t=\frac{1}{x} \):
\(\displaystyle L \geq +\infty + 2 \int_{1}^{+\infty} tlog(t)dt \)
e a questo punto sia integrando per parti sia effettuando la sostituzione \(\displaystyle y=log(t) \) trovo una somma indeterminata \(\displaystyle +\infty - \infty \) ...
Grazie

EDIT: Come si può arrivare alla fine della 2°strada?

[gugo82]

L'integrale:
\[
\int_1^\infty \frac{|\cos y|}{y}\ \text{d} y
\]
si può trattare, mutatis mutandis, con la stessa tecnica che ho usato qui e qui, oppure come suggerito da Giuly19 nella stessa discussione.