Integrale improprio (convergenza)

[jigen45]

Ragazzi, ho qualche problemino nel dimostrare (senza calcolarlo) la convergenza del seguente integrale improprio:

$ int_1^inftylnx/(x^3+5x+2)dx $

In $ [1, e) $

$ lnx < 1 $

Dunque:

$ int_1^inftylnx/(x^3+5x+2)dx < int_1^infty1/(x^3+5x+2)dx $

Considero il secondo integrale, poichè in $[1, +infty)$

$x^3+5x+2>x^3$

Allora

$ int_1^infty1/(x^3+5x+2)dx
Il secondo integrale converge, quindi anche il primo per confronto e converge anche

$ int_1^inftylnx/(x^3+5x+2)dx $

Sempre per confronto.

Adesso però non riesco a trovare i termini giusti da confrontare in $ [e, +infty) $.. qualcuno può darmi una mano? Ho sbagliato qualcosa? Ringrazio in anticipo!!

[Noisemaker]

Quell'integrale risulta improprio solo a $+\infty,$ essendo continua la funzione integranda in $x=1,$ e dunque integrabile. Inoltre osservando che in $[1;+\infty)$ la funzione integranda risulta sempre positiva, puoi applicare il confronto asintotico: quando $x\to+\infty$ hai che
\begin{align}
\frac{\ln x}{x^3+5x+2}\sim\frac{\ln x}{x^3 }=\frac{1}{x^3\ln^{-1} x }\to \mbox{converge.}
\end{align}

[jigen45]

Grazie mille. Come faccio a dire che
$ 1/(x^3 ln^-1x) $
Converge? Ringrazio in anticipo

[Noisemaker]

perchè $1/(x^3\ln ^{-1}x)$ è infinitesima di ordine superiore ad $1$

[jigen45]

Quindi posso dire che converge per confronto con l'integrale $ int_1^infty1/x^3dx $ ?

[Noisemaker]

Puoi dire che converge per confronto con una funzione infinitesima di ordine superiore ad $1$

[jigen45]

Grazie mille. È possibile per questo esercizio in alternativa utilizzare il criterio del confronto per gli integrali?

[jigen45]

up

[jigen45]

Risolto. Grazie mille Noisemaker