Integrale improprio con valore assoluto.
Buongiorno,
ho il seguente integrale $int_(-infty)^(+infty)1/(|x^2-4x+3|)dx$, devo discutere la convergenza del seguente integrale, qualora fosse possibile.
Vista la presenza del modulo, abbiamo:
$ x ge 0$,
$ x < 0$,
Per $x ge 0$, abbiamo il dominio della funzione integranda $X_f={x in mathbb{R_0^+}:x ne 1 vee x ne 3}$.
La funzione integranda per dove risulta definita, è positava in $f^+=[0,1[ cup]3,+infty[$, è negativa in $]1,3[$, ne consegue che l'integrale per $x ge 0$, risulta essere uguale:
Ricordando che:
$f(x) le 0 forall x in [a,b] to int_a^b f(x)dx = - int_a^b |f(x)| dx$
$int_0^(infty)1/(x^2-4x+3)dx=int_0^1 dx/((x-1)(x-3))-int_1^2 dx/|((x-1)(x-3))|-int_2^3 dx/|((x-1)(x-3))|+int_3^4 dx/((x-1)(x-3))+int_4^(+infty) dx/((x-1)(x-3))$
Vi chiedo se l'impostazione è corretta, cosi non faccio tentativi nulli, vi ringrazio anticipamente per l'aiuto.
Cordiali Saluti
ho il seguente integrale $int_(-infty)^(+infty)1/(|x^2-4x+3|)dx$, devo discutere la convergenza del seguente integrale, qualora fosse possibile.
Vista la presenza del modulo, abbiamo:
$ x ge 0$,
$int_0^(infty)1/(x^2-4x+3)dx$
$ x < 0$,
$-int_(-infty)^(0)1/(x^2-4x+3)dx$
Per $x ge 0$, abbiamo il dominio della funzione integranda $X_f={x in mathbb{R_0^+}:x ne 1 vee x ne 3}$.
La funzione integranda per dove risulta definita, è positava in $f^+=[0,1[ cup]3,+infty[$, è negativa in $]1,3[$, ne consegue che l'integrale per $x ge 0$, risulta essere uguale:
Ricordando che:
$f(x) le 0 forall x in [a,b] to int_a^b f(x)dx = - int_a^b |f(x)| dx$
$int_0^(infty)1/(x^2-4x+3)dx=int_0^1 dx/((x-1)(x-3))-int_1^2 dx/|((x-1)(x-3))|-int_2^3 dx/|((x-1)(x-3))|+int_3^4 dx/((x-1)(x-3))+int_4^(+infty) dx/((x-1)(x-3))$
Vi chiedo se l'impostazione è corretta, cosi non faccio tentativi nulli, vi ringrazio anticipamente per l'aiuto.
Cordiali Saluti
Risposte
l'argomento del modulo è positivo quando $x in (-oo,1] uu [3,+oo)$, quindi l'integrale io lo spezzerei, in base alla definizione di modulo, in:
ed ora studierei la convergenza nei tre integrali
$int_(-oo)^(1)1/(x^2-4x+3)dx+int_(1)^(3)1/(-x^2+4x-3)dx+int_(3)^(+oo)1/(x^2-4x+3)dx$
ed ora studierei la convergenza nei tre integrali
Si, ho notato l'errore che ho fatto.
Inoltre quando capita che la funzione integranda, risulta essere definita in un intervallo aperto $(a,b)$, ed ho $int_a^b f(x) dx$, spezzo il precedente integrale in un punto $c in (a,b)$ per poi studiare la convergenza dei due integrali?
Inoltre quando capita che la funzione integranda, risulta essere definita in un intervallo aperto $(a,b)$, ed ho $int_a^b f(x) dx$, spezzo il precedente integrale in un punto $c in (a,b)$ per poi studiare la convergenza dei due integrali?
risulta comodo spezzare l'integrale con i moduli così possiamo liberarci del modulo e studiare la convergenza come siamo capaci.
si. l'integrale di partenza è infatti convergente se tutti i pezzi lo sono
"galles90":
spezzo il precedente integrale in un punto c∈(a,b) per poi studiare la convergenza dei due integrali?
si. l'integrale di partenza è infatti convergente se tutti i pezzi lo sono
"cooper":
risulta comodo spezzare l'integrale con i moduli così possiamo liberarci del modulo e studiare la convergenza come siamo capaci.
Per esempio se osserviamo, nel primo integrale abbiamo due punti di singolarità uno al finito e l'altro all'infinito, per poter studiare la convergenza in tali punti, spezziamo l'integrale come:
Passaggio A
$int_(-infty)^1 1/(x^2-4x+3)dx=int_(-infty)^0 1/(x^2-4x+3)dx+int_0^1 1/((x-1)(x-3))dx$
L'integrale converge se convergono i due a secondo membro, ne segue che il primo converge e l'altro divirge. Per cui l'integrale a primo membro diverge.
Invece per ogni $x in (2,3)$ si ha l'integrale $-int_1^3 1/((x-1)(x-3))dx$, dove la funzione integranda non risulta essere definita agli estremi di integrazione, per cui come detto spezzo l'integrale come:
$-int_2^3 1/((x-1)(x-3))dx=-int_1^2 1/((x-1)(x-3))dx-int_2^3 1/((x-1)(x-3))dx$
la funzione integranda risulta localmente integrabile per ogni $x in ]1,2]$, si ha \(\displaystyle f(x) \sim -1/(2(x-1)) \) per $x to 1^+$.
Allora
$-int_1^2 -1/(2(x-1)) dx=int_1^2 1/(2(x-1)) dx $ per il criterio del confronto asintotico su intervalli limitati diverge, pertanto diverge anche l'integrale rispetivo di partenza.
Lo stesso si fa per il secondo.
In modo analogo fatto per il passaggio A, si fa per $int_3^(+infty) 1/(x^2-4x+3)dx$
Si conclude che l'integrale di partenza diverge.
non è che devi spezzare l'integrale in ogni risoluzione! col modulo torna comodo perchè ha segni diversi in base alla positività dell'argomento. per tutte le considerazioni che hai fatto sullo spezzare gli integrali, benchè possibili (mi sembra tu sia stato un po' confusionario in alcuni punti e mi sembra dii vedere dei segni e degli intervalli sbagliati) sono superflue.
prendi il primo per esempio..
giustamente noti che dobbiamo valutarne la convergenza per $-oo ^^ 1$. ora però non serve spezzare in due, anche perchè devi comunque valutare lo stesso integrale due volte.
basta mettersi in un intorno del punto e studiare il comportamento dell'integrale. per esempio, mettiamoci in un intorno di 1. qui si ha $f(x)~~-1/(2(x-1))$ che diverge per confronto asintotico.
inoltre, dato che già qui diverge, possiamo smettere di verificare in tutti gli altri intervalli e concludere che l'integrale di partenza diverge
prendi il primo per esempio..
giustamente noti che dobbiamo valutarne la convergenza per $-oo ^^ 1$. ora però non serve spezzare in due, anche perchè devi comunque valutare lo stesso integrale due volte.
basta mettersi in un intorno del punto e studiare il comportamento dell'integrale. per esempio, mettiamoci in un intorno di 1. qui si ha $f(x)~~-1/(2(x-1))$ che diverge per confronto asintotico.
inoltre, dato che già qui diverge, possiamo smettere di verificare in tutti gli altri intervalli e concludere che l'integrale di partenza diverge
"cooper":
non è che devi spezzare l'integrale in ogni risoluzione!
Ho preso solo i singoli integrali che sono stati valutati in base al modulo, poi seguendo il mio ragionamento (che mi hai fatto notare, superflo, ti ringrazio di questo), ho spezzato gli integrali.
L'intervallo che dici è questo $(2,3)$ ?
"cooper":
qui si ha $f(x)~~-1/(2(x-1))$ che diverge per confronto asintotico. inoltre, dato che già qui diverge, possiamo smettere di verificare in tutti gli altri intervalli e concludere che l'integrale di partenza diverge
Non potrebbe succedere che, quando ci sono integrali impropri in più punti, un altro integrale diverga a $+\infty$ rendendo il risultato dell'intero integrale indeterminato a causa di un $+\infty-\infty$?
Chiedo in generale, non è riferito nello specifico a questo esempio
"galles90":
L'intervallo che dici è questo (2,3) ?
proprio lui
"Mephlip":
Non potrebbe succedere che, quando ci sono integrali impropri in più punti, un altro integrale diverga a +∞ rendendo il risultato dell'intero integrale indeterminato a causa di un +∞−∞?
formalmente è da controllare che non vengano forme di indeterminazione di quel tipo ma essendo qui la funzione sempre positiva, se diverge diverge positivamente. comunque si in generale è da fare
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