Integrale improprio con tangente, arcotangente e logaritmo
Ciao a tutti
sono alle prese con questo integrale improprio di cui non conosco il risultato:
$\int_{0}^{pi/2} (tanx/arctan(log(tanx)))^(1/3)$
Anzitutto ho una singolarità a $\pi/4$ e per essa ho ricavato che l'integrale converge.
Però dovrei avere anche una singolarità a $\pi/2$ dove la tangente non è definita: è corretto?
Facendo il limite dell'integranda per $\x$ tendente a $\pi/2$ e ricavando la funzione equivalente asintotica ottengo $\ x^(1/3)$ e quindi l'integrale diverge.
Calcolandolo però con Wolfram ricavo invece che l'integrale converge: dove sbaglio?
sono alle prese con questo integrale improprio di cui non conosco il risultato:
$\int_{0}^{pi/2} (tanx/arctan(log(tanx)))^(1/3)$
Anzitutto ho una singolarità a $\pi/4$ e per essa ho ricavato che l'integrale converge.
Però dovrei avere anche una singolarità a $\pi/2$ dove la tangente non è definita: è corretto?
Facendo il limite dell'integranda per $\x$ tendente a $\pi/2$ e ricavando la funzione equivalente asintotica ottengo $\ x^(1/3)$ e quindi l'integrale diverge.
Calcolandolo però con Wolfram ricavo invece che l'integrale converge: dove sbaglio?
Risposte
Nessun suggerimento?
O è talmente banale che devo cavarmela da solo oppure questa volta vi ho messo in difficoltà..... (se devo scommettere però punto sulla prima ipotesi
)
O è talmente banale che devo cavarmela da solo oppure questa volta vi ho messo in difficoltà..... (se devo scommettere però punto sulla prima ipotesi
)
Ciao ravanello,
Non so se gli altri utenti del forum condividono le mie perplessità, ma visto che mi pare di aver capito che hai ottenuto
$ int_{0}^{pi/2} (tanx/arctan(log(tanx)))^(1/3) dx $[tex]\sim[/tex] $ int_{0}^{pi/2} frac{1}{x^{1/3}} dx $
L'ultimo integrale converge per confronto con l'integrale improprio notevole $ int_0^b frac{1}{x^p} dx $ con $ b = pi/2 > 0 $ e $p = 1/3 < 1 $
Non so se gli altri utenti del forum condividono le mie perplessità, ma visto che mi pare di aver capito che hai ottenuto
$ int_{0}^{pi/2} (tanx/arctan(log(tanx)))^(1/3) dx $[tex]\sim[/tex] $ int_{0}^{pi/2} frac{1}{x^{1/3}} dx $
L'ultimo integrale converge per confronto con l'integrale improprio notevole $ int_0^b frac{1}{x^p} dx $ con $ b = pi/2 > 0 $ e $p = 1/3 < 1 $
Ciao pilloeffe e grazie della risposta.
In realtà non è così: avendo una singolarità a $\pi/4$ e a $\pi/2$ ho dovuto spezzare l'integrale; non ho avuto problemi a verificare la convergenza a $\pi/4$,li ho a $\pi/2$.
In particolare per l'integrale spezzato $\int_{A}^{pi/2} (tanx/arctan(log(tanx)))^(1/3)$ e per $\x$ tendente a $\pi/2$ l'integranda mi risulta illimitata: ho sostituito $\t=tanx$ ottenendo:
$\int_{tanA}^{infty} (t/(arctan(log(t))))^(1/3)*1/(t^2 +1)$
Mi accorgo ora che però la funzione equivalente asintotica ottenuta non è $\ t^(1/3)$ ma $\ t^(5/3)$ che converge in quanto l'estremo dell'integrale è $\infty$.
Sono proprio un ravanello!
In realtà non è così: avendo una singolarità a $\pi/4$ e a $\pi/2$ ho dovuto spezzare l'integrale; non ho avuto problemi a verificare la convergenza a $\pi/4$,li ho a $\pi/2$.
In particolare per l'integrale spezzato $\int_{A}^{pi/2} (tanx/arctan(log(tanx)))^(1/3)$ e per $\x$ tendente a $\pi/2$ l'integranda mi risulta illimitata: ho sostituito $\t=tanx$ ottenendo:
$\int_{tanA}^{infty} (t/(arctan(log(t))))^(1/3)*1/(t^2 +1)$
Mi accorgo ora che però la funzione equivalente asintotica ottenuta non è $\ t^(1/3)$ ma $\ t^(5/3)$ che converge in quanto l'estremo dell'integrale è $\infty$.
Sono proprio un ravanello!
"ravanello":
Sono proprio un ravanello!
Ma no, non te la prendere a male: sono cose che capitano, specialmente agli inizi...
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