Integrale improprio con parametro
Ciao ragazzi, ho un problema con questo esercizio. Mi chiede di calcolare per quali valori di $ alpha $ l'integrale improprio converge e calcolarlo per $ alpha $=0.
$ int_(0)^(+oo) e^x/((e^x-1)^alpha(e^(2x)+6e^x+10)) dx $
Per prima cosa io mi sono risolto l'integrale(ponendo, appunto $ alpha $=0) in questo modo:
Ho posto $ t=e^x =>dt=e^xdx $
$ int_(1)^(oo) 1/(t^2+6t+10)dt => int_(1)^(oo) 1/((t+3)^2+1)dt => pi/2-arctg(4) $
(è corretto?)
Successivamente ho cercato di capire i valori di alpha che mi fanno convergere l'integrale, ma ho qualche problema.
Per $ x ->0^+ $ $ int_(0)^(+oo) e^x/((e^x-1)^alpha(e^(2x)+6e^x+10)) dx $ $ ~ 1/(x^alpha*17 )~ 1/x^alpha $ Che mi converge per $ alpha <1 $
Per $ x ->oo $ Non so bene come comportarmi...
Qualcuno sa aiutarmi? Vi ringrazio come sempre!
$ int_(0)^(+oo) e^x/((e^x-1)^alpha(e^(2x)+6e^x+10)) dx $
Per prima cosa io mi sono risolto l'integrale(ponendo, appunto $ alpha $=0) in questo modo:
Ho posto $ t=e^x =>dt=e^xdx $
$ int_(1)^(oo) 1/(t^2+6t+10)dt => int_(1)^(oo) 1/((t+3)^2+1)dt => pi/2-arctg(4) $
(è corretto?)
Successivamente ho cercato di capire i valori di alpha che mi fanno convergere l'integrale, ma ho qualche problema.
Per $ x ->0^+ $ $ int_(0)^(+oo) e^x/((e^x-1)^alpha(e^(2x)+6e^x+10)) dx $ $ ~ 1/(x^alpha*17 )~ 1/x^alpha $ Che mi converge per $ alpha <1 $
Per $ x ->oo $ Non so bene come comportarmi...
Qualcuno sa aiutarmi? Vi ringrazio come sempre!
Risposte
L'integrale è quasi corretto, devi cambiare gli estremi di integrazione quando sostituisci; hai
$$\int_1^{+\infty} \frac{e^x}{e^{2x}+6e^{x}+10} \text{d}x=\int_e^{+\infty} \frac{1}{t^2+6t+10} \text{d}t=\frac{\pi}{2}-\arctan(e+3)$$
Per quanto riguarda la convergenza: per $x\to0^+$ è corretto, per $x\to+\infty$ prova a raccogliere i termini dominanti all'infinito nelle parentesi.
$$\int_1^{+\infty} \frac{e^x}{e^{2x}+6e^{x}+10} \text{d}x=\int_e^{+\infty} \frac{1}{t^2+6t+10} \text{d}t=\frac{\pi}{2}-\arctan(e+3)$$
Per quanto riguarda la convergenza: per $x\to0^+$ è corretto, per $x\to+\infty$ prova a raccogliere i termini dominanti all'infinito nelle parentesi.
"Mephlip":
L'integrale è quasi corretto, devi cambiare gli estremi di integrazione quando sostituisci; hai
$$\int_1^{+\infty} \frac{e^x}{e^{2x}+6e^{x}+10} \text{d}x=\int_e^{+\infty} \frac{1}{t^2+6t+10} \text{d}t=\frac{\pi}{2}-\arctan(e+3)$$
Per quanto riguarda la convergenza: per $x\to0^+$ è corretto, per $x\to+\infty$ prova a raccogliere i termini dominanti all'infinito nelle parentesi.
Ciao Mephlip, grazie per risposta.
Ma sei sicuro che l'estremo inferiore diventi $ e $ ? Credo che hai sbagliato a scrivere gli estremi di integrazione proprio nel testo(l'integrale va da $ 0 $ a $ oo $ . Ovviamente dimmi se sbaglio!
Per quanto riguarda $ x ->oo $ ho ragionato così ma non saprei continuare e soprattutto non so se sono i passaggi giusti.
$ int_(0)^(+oo) $ $ e^x/((e^x-1)^alpha(e^(2x)+6e^x+10)) dx $
Per $ x ->oo $ $ [e^x/((e^(xalpha)*e^(2x)))~ 1/(e^x*e^(xalpha))~ 1/(e^(alpha x+x)]] $
Prego!
Ho preso una svista io, ho letto l'estremo inferiore della seconda formula al posto di quello della prima; scusami! Quindi è corretto lo svolgimento del tuo primo messaggio
Va benissimo il ragionamento per $x\to+\infty$, quindi affinché l'integrale converga l'esponenziale deve rimanere al denominatore; quindi come concludiamo?
Ho preso una svista io, ho letto l'estremo inferiore della seconda formula al posto di quello della prima; scusami! Quindi è corretto lo svolgimento del tuo primo messaggio
Va benissimo il ragionamento per $x\to+\infty$, quindi affinché l'integrale converga l'esponenziale deve rimanere al denominatore; quindi come concludiamo?
"Mephlip":
Prego!
Ho preso una svista io, ho letto l'estremo inferiore della seconda formula al posto di quello della prima; scusami! Quindi è corretto lo svolgimento del tuo primo messaggio
Va benissimo il ragionamento per x→+∞, quindi affinché l'integrale converga l'esponenziale deve rimanere al denominatore; quindi come concludiamo?
Figurati! Nessun problema!
$ 1/(e^(alpha x+x))~ 1/e^(x(alpha+1) $ Che converge se $ alpha+1<1 $ ? Non saprei..
In pratica il senso è che l'integrale improprio converge se l'esponenziale rimane al denominatore, ciò avviene se il segno dell'esponente rimane negativo (nel senso che è del tipo $e^{\text{roba negativa}}$).
Ciò viene dal seguente fatto generale: sia $\gamma\in\mathbb{R}\setminus\{0}$, si ha
$$\int_1^{+\infty} \frac{1}{e^{\gamma x}} \text{d}x=\lim_{R\to+\infty} \int_1^R e^{-\gamma x} \text{d}x=\lim_{R \to +\infty} \left[-\frac{1}{\gamma} e^{-\gamma x}\right]_1^R =-\frac{1}{\gamma} \lim_{R\to+\infty} (e^{-\gamma R} - e^{-\gamma})$$
Quindi il destino del limite è legato all'esponente $-\gamma$ dell'esponenziale $e^{-\gamma R}$: se esso è positivo il limite è infinito, altrimenti se è negativo il limite è finito; pertanto per la convergenza deve essere $-\gamma<0$ e dunque $\gamma>0$.
Nel tuo caso l'esponenziale è già al denominatore, perciò il suo esponente deve essere positivo affinché rimanga al denominatore; quindi deve essere $\alpha+1>0\Leftrightarrow \alpha > -1$.
Dunque, intersecando quest'ultima condizione con la condizione su $\alpha$ data dalla stima asintotica per $x\to0^+$, risulta che in conclusione l'integrale converge se $-1<\alpha<1$.
P.S.: Se rispondi al messaggio appena sopra al tuo non è necessario citarlo (a meno che tu non ti riferisca a parti precise del discorso), in tal modo la lettura è più scorrevole
Ciò viene dal seguente fatto generale: sia $\gamma\in\mathbb{R}\setminus\{0}$, si ha
$$\int_1^{+\infty} \frac{1}{e^{\gamma x}} \text{d}x=\lim_{R\to+\infty} \int_1^R e^{-\gamma x} \text{d}x=\lim_{R \to +\infty} \left[-\frac{1}{\gamma} e^{-\gamma x}\right]_1^R =-\frac{1}{\gamma} \lim_{R\to+\infty} (e^{-\gamma R} - e^{-\gamma})$$
Quindi il destino del limite è legato all'esponente $-\gamma$ dell'esponenziale $e^{-\gamma R}$: se esso è positivo il limite è infinito, altrimenti se è negativo il limite è finito; pertanto per la convergenza deve essere $-\gamma<0$ e dunque $\gamma>0$.
Nel tuo caso l'esponenziale è già al denominatore, perciò il suo esponente deve essere positivo affinché rimanga al denominatore; quindi deve essere $\alpha+1>0\Leftrightarrow \alpha > -1$.
Dunque, intersecando quest'ultima condizione con la condizione su $\alpha$ data dalla stima asintotica per $x\to0^+$, risulta che in conclusione l'integrale converge se $-1<\alpha<1$.
P.S.: Se rispondi al messaggio appena sopra al tuo non è necessario citarlo (a meno che tu non ti riferisca a parti precise del discorso), in tal modo la lettura è più scorrevole
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