Integrale improprio con parametro
Salve, ho alcuni problemi nello svolgere un esercizio. Avendo l'integrale $\int_{0}^{pi/2} [e^x-1]/[(1-cosx)^(1+a)] dx$ devo determinare per quali valori di $a$ esso converga. Poiché l'estremo problematico è quello inferiore, col quale l'integranda assume il valore $0/0$ ho provato a studiare in base ai diversi valori di $a$ gli ordini dello 0 ma senza arrivare alla conclusione, ho anche provato a semplificare $e^x$ o $1-cosx$ ma senza riuscirci. Mi potete aiutare ?
Risposte
Ciao davide.fede,
L'integrale improprio proposto è piuttosto semplice, infatti per $x \to 0 $ si ha la seguente stima asintotica:
$int_{0}^{pi/2} [e^x-1]/[(1-cosx)^(1+a)] dx $ [tex]\sim[/tex] $ int_{0}^{pi/2} x/[(frac{1}{2} x^2)^(1+a)] dx = frac{1}{(1/2)^{a + 1}} int_{0}^{pi/2} frac{x}{x^{2a + 2}} dx = frac{1}{(1/2)^{a + 1}} int_{0}^{pi/2} frac{1}{x^{2a + 1}} dx $
e l'ultimo integrale scritto converge per confronto con l'integrale improprio fondamentale se $2a + 1 < 1 \implies a < 0 $
L'integrale improprio proposto è piuttosto semplice, infatti per $x \to 0 $ si ha la seguente stima asintotica:
$int_{0}^{pi/2} [e^x-1]/[(1-cosx)^(1+a)] dx $ [tex]\sim[/tex] $ int_{0}^{pi/2} x/[(frac{1}{2} x^2)^(1+a)] dx = frac{1}{(1/2)^{a + 1}} int_{0}^{pi/2} frac{x}{x^{2a + 2}} dx = frac{1}{(1/2)^{a + 1}} int_{0}^{pi/2} frac{1}{x^{2a + 1}} dx $
e l'ultimo integrale scritto converge per confronto con l'integrale improprio fondamentale se $2a + 1 < 1 \implies a < 0 $
"pilloeffe":
Ciao davide.fede,
L'integrale improprio proposto è piuttosto semplice, infatti per $x \to 0 $ si ha la seguente stima asintotica:
$int_{0}^{pi/2} [e^x-1]/[(1-cosx)^(1+a)] dx $ [tex]\sim[/tex] $ int_{0}^{pi/2} x/[(frac{1}{2} x^2)^(1+a)] dx = frac{1}{(1/2)^{a + 1}} int_{0}^{pi/2} frac{x}{x^{2a + 2}} dx = frac{1}{(1/2)^{a + 1}} int_{0}^{pi/2} frac{1}{x^{2a + 1}} dx $
e l'ultimo integrale scritto converge per confronto con l'integrale improprio fondamentale se $2a + 1 < 1 \implies a < 0 $
Hai ragione, gli sviluppi di Taylor. Non ci avevo pensato eppure era così semplice. Mi stupisci sempre pilloeffe
"pilloeffe":
Ciao davide.fede,
L'integrale improprio proposto è piuttosto semplice, infatti per $x \to 0 $ si ha la seguente stima asintotica:
$int_{0}^{pi/2} [e^x-1]/[(1-cosx)^(1+a)] dx $ [tex]\sim[/tex] $ int_{0}^{pi/2} x/[(frac{1}{2} x^2)^(1+a)] dx = frac{1}{(1/2)^{a + 1}} int_{0}^{pi/2} frac{x}{x^{2a + 2}} dx = frac{1}{(1/2)^{a + 1}} int_{0}^{pi/2} frac{1}{x^{2a + 1}} dx $
e l'ultimo integrale scritto converge per confronto con l'integrale improprio fondamentale se $2a + 1 < 1 \implies a < 0 $
Ho pubblicato un post su una serie con parametro della quale non sono sicuro abbia eseguito bene il procedimento, se vuoi ci puoi dare un'occhiata
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