Integrale improprio con parametro!
Ciao, spero possiate aiutarmi con questo esercizio! Devo studiare la convergenza assoluta e semplice al variare di $ alpha>0 $ e calcolarlo per $ alpha=4 $ ! Eccolo: $ alpha=int_(2)^(+oo ) (5+(alpha -4)cos x)/(xln^alpha x) dx $ Ho problemi sul come far variare $ alpha $ e con il modulo per la convergenza assoluta! 
Risposte
Ciao
lo studio della convergenza di questo integrale non presenta grosse difficolta, bisogna solo porre attenzione ai valori critici di $alpha$.
1) innanzitutto sappiamo che l'integrale improprio:
$ lim_(m -> oo) int_(2)^(m) 1/(x*ln^alpha x) dx $
converge per $alpha >1$
e diverge per $alpha <=1$
2) Per la convergenza assoluta ora dobbiamo vedere come si comporta il numeratore al variare di $alpha$ visto che $(x*ln^alpha x)$ è sempre positivo nel nostro intervallo. Allora considero:
i) $4
$ | 5+(alpha-4)cos(x)| <= 5+| alpha-4| *| cos(x)| <= 5+|alpha-4| $
il numeratore è limitato e quindi l'integrale converge assolutamente e quindi puntualmente
ii) $alpha =4$
in questo caso il numeratore $=5$ e l'integrale si riduce ad essere:
$ lim_(m -> oo) int_(2)^(m) 5/(x*ln^4 x) dx $
per calcolarlo basta porre
$ln(x) = y$ e $dx/x = dy $
da cui otteniamo:
$ lim_(m -> oo) int_(2)^(m) 5/(x*ln^4 x) dx = 5/(3*ln^3(2))$
i) $0
a questo punto prova a proseguire da solo.....
SSSSC (spero sia stato suficientemente chiaro)
Bye
lo studio della convergenza di questo integrale non presenta grosse difficolta, bisogna solo porre attenzione ai valori critici di $alpha$.
1) innanzitutto sappiamo che l'integrale improprio:
$ lim_(m -> oo) int_(2)^(m) 1/(x*ln^alpha x) dx $
converge per $alpha >1$
e diverge per $alpha <=1$
2) Per la convergenza assoluta ora dobbiamo vedere come si comporta il numeratore al variare di $alpha$ visto che $(x*ln^alpha x)$ è sempre positivo nel nostro intervallo. Allora considero:
i) $4
$ | 5+(alpha-4)cos(x)| <= 5+| alpha-4| *| cos(x)| <= 5+|alpha-4| $
il numeratore è limitato e quindi l'integrale converge assolutamente e quindi puntualmente
ii) $alpha =4$
in questo caso il numeratore $=5$ e l'integrale si riduce ad essere:
$ lim_(m -> oo) int_(2)^(m) 5/(x*ln^4 x) dx $
per calcolarlo basta porre
$ln(x) = y$ e $dx/x = dy $
da cui otteniamo:
$ lim_(m -> oo) int_(2)^(m) 5/(x*ln^4 x) dx = 5/(3*ln^3(2))$
i) $0
a questo punto prova a proseguire da solo.....
SSSSC (spero sia stato suficientemente chiaro)
Bye
Ciao! Sei stato chiaro, grazie! In realtà per $ alpha =4 $ ci ero arrivata, volevo vedere se avevo fatto bene! Ora ho provato per $ 01 quindi converge anche semplicemente! Ma ho il timore di aver scritto delle cavolate! 
Potresti farmi vedere come avresti continuato tu? Please!
Potresti farmi vedere come avresti continuato tu? Please!
Ok.
Per $00$ infatti analizzando il numeratore $g(x,alpha)$ ho:
i) $alpha <=1$
$g(x,alpha) <=5+(1-4)cos(x)$
ii) $alpha >0$
$5+(0-4)cos(x)
da cui ottengo che:
$1
Avendo dimostrato che l'integranda è positiva in ogni x del nostro intervallo, utilizzo il criterio del confronto:
$ (5+(alpha -4)cos x)/(xln^alpha x) >1/(xln^alpha x)$
e siccome
$int_(2)^(+oo ) 1/(xln^alpha x) dx$
diverge, allora anche
$int_(2)^(+oo ) (5+(alpha -4)cos x)/(xln^alpha x) dx$
diverge nell'intervallo $2<=x
SSSSC
Bye
Per $0
i) $alpha <=1$
$g(x,alpha) <=5+(1-4)cos(x)$
ii) $alpha >0$
$5+(0-4)cos(x)
da cui ottengo che:
$1
Avendo dimostrato che l'integranda è positiva in ogni x del nostro intervallo, utilizzo il criterio del confronto:
$ (5+(alpha -4)cos x)/(xln^alpha x) >1/(xln^alpha x)$
e siccome
$int_(2)^(+oo ) 1/(xln^alpha x) dx$
diverge, allora anche
$int_(2)^(+oo ) (5+(alpha -4)cos x)/(xln^alpha x) dx$
diverge nell'intervallo $2<=x
SSSSC
Bye
Chiaro! 1000 grazie!
Ok.
consiglio: nelle soluzioni osa un po' di più
Bye
consiglio: nelle soluzioni osa un po' di più
Bye
Si ma ho sempre il timore di scrivere qualche cavolata!
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