Integrale improprio con metodo dei residui
Salve a tutti,
mi stavo cimentando a calcolare un integrale improprio con il metodo dei residui, come esercizio; ho dei dubbi di impostazione e volevo chiedere un parere. L'integrale è il seguente:
\[
I=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1-\cos(\pi x)}{x^2\left(x^2-4x+5\right)}dx
\]
Ho pensato di utilizzare la funzione ausiliaria in \( \mathbb{C} \):
\[
f(z) = \frac{1-e^{i\pi z}}{z^2(z^2-4z+5)}
\]
Il percorso di integrazione è composto dalla semicirconferenza di raggio \(R\) con centro nell'origine percorsa in senso antiorario, dalla circonferenza di raggio \(r\) con centro l'origine percorsa in senso orario e dai due segmenti da \([-R,-r]\) e \([r,R]\). A questo punto nel dominio delimitato dal percorso di integrazione è contenuto l'unico polo in \(2+i\) dunque applico il teorema dei residui direttamente:
\[
2\pi i Res_f\left(2+j\right)=\int_{\gamma_R}f(z)dz + \int_{\gamma_r}f(z)dz+\int_{-R}^{-r}\frac{1-e^{i\pi x}}{x^2(x^2-4x+5)}dx+\int_{r}^{R}\frac{1-e^{i\pi x}}{x^2(x^2-4x+5)}dx
\]
dove sui segmenti la parametrizzazione è \(z = x+0i,\quad dz = dx\).
Ora ho esplicitato la relazione di Eulero (la scrivo solo per uno dei due integrali):
\[
\int_{r}^{R}\frac{1-e^{i\pi x}}{x^2(x^2-4x+5)}dx=\int_{r}^{R}\frac{1-cos(\pi x)}{x^2(x^2-4x+5)}dx-i\int_{r}^{R}\frac{sin(\pi x)}{x^2(x^2-4x+5)}dx
\]
A questo punto mi fermo...Ora sono un attimo in blocco...non sono sicuro se posso applicare il lemma di Jordan e come trattare i due integrali con argomento seno.
Non so onestamente se la funzione ausiliaria che ho scelto sia corretta. Spero qualcuno possa darmi una mano, vi ringrazio in anticipo!
Scusate l'ignoranza
Grazie a tutti
mi stavo cimentando a calcolare un integrale improprio con il metodo dei residui, come esercizio; ho dei dubbi di impostazione e volevo chiedere un parere. L'integrale è il seguente:
\[
I=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1-\cos(\pi x)}{x^2\left(x^2-4x+5\right)}dx
\]
Ho pensato di utilizzare la funzione ausiliaria in \( \mathbb{C} \):
\[
f(z) = \frac{1-e^{i\pi z}}{z^2(z^2-4z+5)}
\]
Il percorso di integrazione è composto dalla semicirconferenza di raggio \(R\) con centro nell'origine percorsa in senso antiorario, dalla circonferenza di raggio \(r\) con centro l'origine percorsa in senso orario e dai due segmenti da \([-R,-r]\) e \([r,R]\). A questo punto nel dominio delimitato dal percorso di integrazione è contenuto l'unico polo in \(2+i\) dunque applico il teorema dei residui direttamente:
\[
2\pi i Res_f\left(2+j\right)=\int_{\gamma_R}f(z)dz + \int_{\gamma_r}f(z)dz+\int_{-R}^{-r}\frac{1-e^{i\pi x}}{x^2(x^2-4x+5)}dx+\int_{r}^{R}\frac{1-e^{i\pi x}}{x^2(x^2-4x+5)}dx
\]
dove sui segmenti la parametrizzazione è \(z = x+0i,\quad dz = dx\).
Ora ho esplicitato la relazione di Eulero (la scrivo solo per uno dei due integrali):
\[
\int_{r}^{R}\frac{1-e^{i\pi x}}{x^2(x^2-4x+5)}dx=\int_{r}^{R}\frac{1-cos(\pi x)}{x^2(x^2-4x+5)}dx-i\int_{r}^{R}\frac{sin(\pi x)}{x^2(x^2-4x+5)}dx
\]
A questo punto mi fermo...Ora sono un attimo in blocco...non sono sicuro se posso applicare il lemma di Jordan e come trattare i due integrali con argomento seno.
Non so onestamente se la funzione ausiliaria che ho scelto sia corretta. Spero qualcuno possa darmi una mano, vi ringrazio in anticipo!
Scusate l'ignoranza
Grazie a tutti
Risposte
Se l'integrale converge (anche non assolutamente) puoi calcolarne il valore principale che coincide.
Io avrei separato così la funzione $ f(z)=1/(z^2(z^2-4z+5))-e^(iz)/(2z^2(z^2-4z+5))-e^(-iz)/(2z^2(z^2-4z+5)) $ e hai tutte singolarità polari, per cui puoi applicare i lemmi opportuni.
E' lo stesso ragionamento che si fa per integrare $ int_(-infty)^(+infty) sinz/z = int_(-infty)^(+infty) e^(iz)/(2iz)-e^(-iz)/(2iz)=ipiRes(e^(iz)/(2iz),0)-ipiRes(-e^(-iz)/(2iz),0)$
Io avrei separato così la funzione $ f(z)=1/(z^2(z^2-4z+5))-e^(iz)/(2z^2(z^2-4z+5))-e^(-iz)/(2z^2(z^2-4z+5)) $ e hai tutte singolarità polari, per cui puoi applicare i lemmi opportuni.
E' lo stesso ragionamento che si fa per integrare $ int_(-infty)^(+infty) sinz/z = int_(-infty)^(+infty) e^(iz)/(2iz)-e^(-iz)/(2iz)=ipiRes(e^(iz)/(2iz),0)-ipiRes(-e^(-iz)/(2iz),0)$
Grazie mille, in effetti temevo di dividere l'integrale per la convergenza che invece è di immediata verifica tenendo la funzione tutta unita.
Ti ringrazio ancora
Ti ringrazio ancora
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo