Integrale improprio con arcoseno iperbolico

[Elena9612]

Ciao a tutti!
avrei dei problemi con lo svolgimento di questo esercizio:
$ int_(0)^(oo) 1/(xarcsinh(x)) dx $

Mi chiedo: quest'integrale ha problemi solo in infinito o anche in zero?

In ogni caso qual è il metodo risolutivo?
Vi ringrazio!

[bosmer-votailprof]

Beh tanto per cominciare direi proprio che ha problemi anche in zero, visto che l'arco seno iperbolico in zero vale zero , e idem la $x$ , e non puoi fare 1 diviso zero...

Poi cosa vuoi sapere da quell'integrale? vuoi sapere se converge immagino...

Allora per prima cosa definiamo una costante $c$ tale che $0 $$
\int_0^{+\infty}f(x)dx=\int_0^cf(x)dx+\int_c^{+\infty}f(x)dx
$$
Poi prima di tutto scriverei l'arco seno iperbolico nella suo forma logaritmica in modo che possa mostrare il suo volto, cioè
$$
\arcsinh(x)=\ln(x+\sqrt{x^2+1})
$$
che è definito come si vede su tutto $R$ ed è nullo in zero.
Quindi $f(x)=\frac{1}{x\arcsinh(x)}=\frac{1}{x\ln(x+\sqrt{x^2+1})}$

Ora studiamo la convergenza del primo integrale.
Utilizzando un paio di sviluppi asintotici usando Mc Laren ( o anche no ) notiamo che
$$
\ln(x+\sqrt{x^2+1})\approx x(\frac x 2 +1)
$$
Dunque scopriamo che nel primo integrale vale
$$
\frac{1}{x\ln(x+\sqrt{x^2+1})}\approx\frac{1}{xx(\frac x 2 +1)}=\frac{1}{x^2(\frac x 2 +1)}\approx \frac{1}{x^2}
$$
Per confronto con le famiglie notevoli di integrale improprio abbiamo che l'integrale in zero non converge perchè abbiamo che $\int_0^c\frac{1}{x^2}$ diverge , quindi diventa inutile lo studio a più infinito perché l'integrale di partenza converge solo se convergono entrambi gli integrali in cui l'abbiamo diviso.