Integrale improprio

[Albert Wesker 27]

Buongiorno a tutti. Volevo proporre un esercizio.

Dire se il seguente integrale improprio converge:

$ int_(2)^(+oo) (sen(x))/ln(x) $

Non riesco ad andare oltre alcune semplici osservazioni che riporto qui:
- $f(x)=(sen(x))/ln(x)$ non ha segno costante nell'intervallo $[2,+oo)$, quindi non posso applicare né il criterio del confronto né il criterio del confronto asintotico.
- La primitiva di $f$ non si può esprimere tramite somme finite di funzioni elementari (almeno mi sembra).

Non riesco a fare di più. Consigli? Grazie

[Quinzio]

"Albert Wesker 27":Buongiorno a tutti. Volevo proporre un esercizio.

Dire se il seguente integrale improprio converge:

$ int_(2)^(+oo) (sen(x))/ln(x) $

Non riesco ad andare oltre alcune semplici osservazioni che riporto qui:
- $f(x)=(sen(x))/ln(x)$ non ha segno costante nell'intervallo $[2,+oo)$, quindi non posso applicare né il criterio del confronto né il criterio del confronto asintotico.
- La primitiva di $f$ non si può esprimere tramite somme finite di funzioni elementari (almeno mi sembra).

Non riesco a fare di più. Consigli? Grazie

L'integrale
$ int_(2)^(+oo) (sin(x))/ln(x) $

lo puoi spezzare in infinite somme così:

$ int_(0)^(\pi)\ \sum_(i=4)^(+oo) (sin(x+\pi\ i))/ln(i/2+x) dx $

se ci guardi bene sono la stessa cosa.
Adesso dovresti dire se la serie converge... e non è difficile da dire.
Rimane da fare l'integrale, ma essendo un integrale "regolare" , non improprio....

[erotvlas]

\(\int_{2}^{M}\frac{sin\left(x\right)}{ln(x)}dx=\left[-\frac{cos\left(x\right)}{ln(x)}\right]_{2}^{M}+\int_{2}^{M}\frac{cos\left(x\right)}{xln^{2}\left(x\right)}dx\) e quindi l'integrale improprio esiste se e solo se esiste l'integrale improprio
\(\int_{2}^{\infty}\frac{cos\left(x\right)}{xln^{2}\left(x\right)}dx\)
Poichè \(\left|\frac{cos\left(x\right)}{xln^{2}\left(x\right)}\right|<\left|\frac{1}{xln^{2}\left(x\right)}\right|\) e \(\int_{2}^{\infty}\frac{1}{xln^{2}\left(x\right)}dx=\frac{1}{ln\left(2\right)}\) quindi l'integrale improprio proposto è convergente.

[Albert Wesker 27]

Grazie ad entrambi. Sul primo post devo ragionare un po' mentre la soluzione per parti è davvero carina e non ci avevo proprio pensato.