Integrale improprio

[lupomatematico]

ciao a tutti.
Ho provato a studiare la convergenza di questo integrale improprio ma ho dei dubbi.

$\int_{0}^{+\infty} \frac{x-\sin x}{(x-x^2)^p}dx$

Allora siccome la funzione presenta delle singolarità sia in 0 che in 1 l'ho spezzato in questo modo:

$\int_{0}^{a} \frac{x-\sin x}{(x-x^2)^p}dx+\int_{a}^{1} \frac{x-\sin x}{(x-x^2)^p}dx+\int_{1}^{b} \frac{x-\sin x}{(x-x^2)^p}dx+\int_{b}^{+\infty} \frac{x-\sin x}{(x-x^2)^p}dx$

Con 01.

Per il primo integrale ho sviluppato in serie di Taylor il numeratore e ho ottenuto

$\frac{x-\sin x}{(x-x^2)^p}\sim \frac{\frac{x^3}{6}}{x^p(1-x)^p}\sim \frac{1}{x^{p-3}}$

che risulta convergente per p-3<1 e cioè p<4.

Per il secondo maggioro il numeratore in questo modo

$\frac{x-\sin x}{(x-x^2)^p}\leq -\frac{1-x}{x^p(1-x)^p}=-\frac{1}{x^p(1-x)^{p-1}}$

che risulta convergente per p-1<1 e cioè p<2.

Il terzo è lo stesso perché la singolarità è sempre in 1.

Invece il quarto l'ho studiato così

$\frac{x-\sin x}{(x-x^2)^p}\sim \frac{x}{x^{2p}}=\frac{1}{x^{2p-1}}$

che risulta convergente per 2p-1>1 e cioè p>1.

Quindi l'integrale risulta convergente per 1
E' giusto?

[lupomatematico]

Nessuno può darmi una mano?

[Raptorista1]

"lupomatematico":
Per il secondo maggioro il numeratore in questo modo

$\frac{x-\sin x}{(x-x^2)^p}\leq -\frac{1-x}{x^p(1-x)^p}=-\frac{1}{x^p(1-x)^{p-1}}$

Non è che questo passaggio mi piaccia più di tanto, sai?
Se provi a disegnare \(y_1 = x - \sin(x)\) e \(y_2 = x - 1\) vedi che \(y_1 \ge y_2\), che non è quello che vuoi. Dico bene?