Integrale Improprio

[matteo333]

$ int_(1)^( oo)(1/(x(x-1))) $ Ho questo integrale improprio. Mi viene richiesto di vedere se converge o diverge con il metodo del confronto
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Io ho ragionato in questi termini ho pensato di usare come termine di paragone l'integrale improprio $1/x$ che diverge.
Però $1/x$ non è minore di $ (1/(x(x-1))) $ e quindi non posso far valere il teorema.

C'è qualcuno che può gentilmente suggerirmi un termine di paragone f(x) divergente.

GRAZIE MILLEEEEE.....

[Sk_Anonymous]

"Matte21":$ int_(1)^( oo)(1/(x(x-1))) $ Ho questo integrale improprio. Mi viene richiesto di vedere se converge o diverge con il metodo del confronto
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Io ho ragionato in questi termini ho pensato di usare come termine di paragone l'integrale improprio $1/x$ che diverge.
Però $1/x$ non è minore di $ (1/(x(x-1))) $ e quindi non posso far valere il teorema.

C'è qualcuno che può gentilmente suggerirmi un termine di paragone f(x) divergente.

GRAZIE MILLEEEEE.....

Sia $f(x)=1/(x(x-1))$. Per $x->1$, $f(x)=1/((x-1)(1+o(1))$, dunque l'integrale fra 1 e 33 (per esempio) converge, perchè l'ordine di infinito dell'ultima funzione è minore di 1. Di conseguenza, per il criterio del confronto asintotico l'integrale della funzione di partenza, fra 1 ed un qualunque numero finito, convergerà;

Per $x->+oo$, $f(x)=1/(x^2(1+o(1))$, e, siccome l'ordine di infinitesimo di questa funzione è maggiore di 1, il suo integrale (fra 33 e $+oo$ converge). Di conseguenza, per il criterio del confronto asintotico, l'integrale della funzione di partenza, fra 33 e più infinito, converge. in conclusione, l'integrale di quella funzione tra 1 e $+oo$ converge.

Se vuoi usare il criterio del confronto e basta, puoi impostare la maggiorazione così. Cerchiamo di dimostrare che $1/(x(x-1))<1/x^a$, $a>1$, definitivamente, cioè per $x->+oo$. Calcolando il limite per x che tende a più infinito del rapporto fra la prima e la seconda funzione, otteniamo che, per una scelta di $a$ pari ad 1.56 (numero a caso minore di 2), la disuguaglianza è verificata, perchè il limite di prima viene 0. Di conseguenza, hai dimostrato che quella funzione, a partire da un certo punto in poi riesce a stare sotto (è minore) ad una funzione il cui integrale converge (infatti, l'integrale di $1/x^1.56$, per x che tende a più infinito, converge). Spero di esserti stato d'aiuto, ciao.

[matteo333]

Grazi mille....

[Sk_Anonymous]

Nulla.