Integrale improprio
Questo integrale improprio mi sapreste dimostrare perchè fa $pi$? $int_{-oo}^{+oo}e^(-x^2)dx$
Risposte
Innanzitutto la relazione giusta è:
[tex]$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\ \text{d} x =\sqrt{\pi}$[/tex].
Inoltre, per la dimostrazione più semplice che mi viene in mente servono strumenti di Analisi II.
Se non li hai è inutile continuare ora... Fai passare un po' di tempo e poi ci risentiamo.
Altrimenti, prova a calcolare quanto fà:
[tex]$I(R):=\iint_{B(0;R)} e^{-(x^2+y^2)}\ \text{d} x\text{d} y$[/tex] e [tex]$J(R):=\iint_{B(0;\sqrt{2} R)} e^{-(x^2+y^2)}\ \text{d} x\text{d} y$[/tex]
(qui [tex]$R>0$[/tex] e, per ogni [tex]$r>0$[/tex], [tex]$B(0;r) :=\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 :\ x^2+y^2\leq r^2\}$[/tex]) usando le coordinate polari; poi dimostra che l'integrale:
[tex]$K(R):=\int_{-R}^R\int_{-R}^{R} e^{-(x^2+y^2)}\ \text{d} x\text{d} y$[/tex]
è tale che [tex]$I(R)\leq K(R)\leq J(R)$[/tex] per ogni [tex]$R$[/tex]; calcola esplicitamente [tex]$K(R)$[/tex] usando una formula di riduzione per gli integrali doppi; infine usa il teorema dei carabinieri ed il fatto che [tex]$\lim_{R\to +\infty} I(R) =\lim_{R\to +\infty} J(R)$[/tex] per trovare il risultato di [tex]$\lim_{R\to +\infty} K(R)$[/tex].
Fatto ciò, troverai una bella sorpresa.
[tex]$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\ \text{d} x =\sqrt{\pi}$[/tex].
Inoltre, per la dimostrazione più semplice che mi viene in mente servono strumenti di Analisi II.
Se non li hai è inutile continuare ora... Fai passare un po' di tempo e poi ci risentiamo.
Altrimenti, prova a calcolare quanto fà:
[tex]$I(R):=\iint_{B(0;R)} e^{-(x^2+y^2)}\ \text{d} x\text{d} y$[/tex] e [tex]$J(R):=\iint_{B(0;\sqrt{2} R)} e^{-(x^2+y^2)}\ \text{d} x\text{d} y$[/tex]
(qui [tex]$R>0$[/tex] e, per ogni [tex]$r>0$[/tex], [tex]$B(0;r) :=\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 :\ x^2+y^2\leq r^2\}$[/tex]) usando le coordinate polari; poi dimostra che l'integrale:
[tex]$K(R):=\int_{-R}^R\int_{-R}^{R} e^{-(x^2+y^2)}\ \text{d} x\text{d} y$[/tex]
è tale che [tex]$I(R)\leq K(R)\leq J(R)$[/tex] per ogni [tex]$R$[/tex]; calcola esplicitamente [tex]$K(R)$[/tex] usando una formula di riduzione per gli integrali doppi; infine usa il teorema dei carabinieri ed il fatto che [tex]$\lim_{R\to +\infty} I(R) =\lim_{R\to +\infty} J(R)$[/tex] per trovare il risultato di [tex]$\lim_{R\to +\infty} K(R)$[/tex].
Fatto ciò, troverai una bella sorpresa.
ti ringrazio gugo, è ancora presto per l' analisi II, ma grazie lo stesso della risposta, mi importava sapere se era calcolabile ed in che modo, ma visto che ci vogliono strumenti che non ho, ci penserò poi
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo