Integrale improprio (69984)

[Jack911]

+∞
∫{ [ 2x + sin( x^b ) ]·dx / [ e^x - cos( x^b ) ] }
0

Per quali valori di b ≥ 0 CONVERGE ?




Ho capitooooo !!!


Grazie grazie grazie grazie 1000 .... certo che se potessi trovare per strada chi ha inventato gli o piccoli lo prenderei a randellate :D

[ciampax]

Per verificare la convergenza bisogna comprendere il comportamento della funzione nei due estremi di integrazione. Chiamo

[math]f(x)=\frac{2x+\sin x^b}{e^x-\cos x^b}[/math]

.

Comportamento in

[math]x=0[/math]

: usando gli sviluppi di Taylor si trova che

[math]f(x)\sim\frac{2x+x^b+o(x^b)}{1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)-1-\frac{x^{2b}}{2}+o(x^{2b})}=
\frac{2x+x^b+o(x^b)}{x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)-\frac{x^{2b}}{2}+o(x^{2b})}[/math]

Per determinare il comportamento della funzione dobbiamo capire qual'è l'ordine di infinitesimo di numeratore e denominatore della stessa: osserva che

[math]N\sim \left\{\begin{array}{lcl}
x^b & & 0\leq b1
\end{array}\right.[/math]

[math]D\sim\left\{\begin{array}{lcl}
-\frac{x^{2b}}{2} & & 0\leq b\frac{1}{2}
\end{array}\right.[/math]

Combinando i vari casi otteniamo

[math]f(x)\sim\left\{\begin{array}{lcl}
-\frac{2x^b}{x^{2b}}=-\frac{2}{x^b} & & 0\leq b