Integrale Improprio

[Johnny_Mnemonic]

Salve è il mio primo post dopo essermi iscritto a matematicamente, quindi se faccio qualche errore un pò di pazienza .
Allora l'esercizio che mi ha dato un pò di problemi è il seguente.

$\int_{0}^{1}\frac{\arctan(x)}{\log(1+x)\sqrt[2]{1-e^{x-1}}}dx$

Determinando il dominio naturale della funzione ho potuto osservare che il problema dell'iintegrazione impropria esiste sia in 0 che in 1.
Quindi dalla definizione di integrale improprio ho scritto:

$lim_(\omega\rightarrow0^{+})\int_{\omega}^{\frac{1}{2}}\frac{\arctan(x)}{\log(1+x)\sqrt[]{1-e^{x-1}}}dx+lim_(\gamma\rightarrow1^{-})\int_{\frac{1}{2}}^{\gamma}\frac{\arctan(x)}{\log(1+x)\sqrt[]{1-e^{x-1}}}dx$

Poi ho iniziato erificando che il lim dell'integranda per x che tende a 0+ è finito e positivo ...quindi la mia intenzione era di sfruttare il criterio del confronto ...
ma ho avuto difficoltà nel trovare una g(x) adatta.

Spero di essere stato chiaro.

[gugo82]

Ragiona sugli ordini di infinito/infinitesimo.

[Johnny_Mnemonic]

Scusa ma se calcolo il limite per x->0+ la funzione non è ne un infinitesimo e ne un infinito ..... ho verificato anche con graf ..... quindi ?

[gugo82]

Quindi la puoi prolungare con continuità su $0$ e sai che le funzioni continue sono integrabili... Ergo $0$ non è un punto "problematico", perchè l'integrale di Riemann "non vede" i valori assunti su insiemi di misura di Peano-Jordan nulla (perciò c'è uguaglianza tra l'integrale della tua funzione o quello del suo prolungamento).

[Johnny_Mnemonic]

Ok allora ho capito che essendo la funzione prolungabile per continuità in x = 0 ed essendo le funzioni continue integrabili secondo Riemann allora il problema dell'integrabilità impropria esiste solo per x = 1 .

Devo però lavorare su quello che hai detto circa al fatto che l'integrale di Riemann "non vede" i valori assunti su insiemi di misura di Peano-Jordan nulla.

Cmq vado avanti con l'esercizio e posto il seguito .... e se riesco a risolverlo festa