Integrale improprio
Determinare, per quali valori di $alpha>0$, l'integrale
$ int_(0)^(1) 1/(x^(2alpha)*root(3)(x-log(1+x)))*dx $
converge.
Osserviamo che $ lim_(x -> 0^+) f(x)=+infty $ e che la funzione integranda non è definita per $x=0$, pertanto siamo in presenza di un integrale improprio.
Considerato che $ log(1+x) \sim x - x^2/2 + o(x^2)$, otteniamo che $ root(3)(x-log(1+x)) \sim root(3)(x-x+x^2/2+o(x^2))=root(3) (x^2/2+o(x^2))$, il tutto per $x->0$.
Detto questo $ f(x)=1/(x^(2alpha)*root(3)(x^2/2))=root(3)(2)/x^(2alpha+2/3)$, quindi otteniamo $ int_(0)^(1) 1/(x^(2alpha)*root(3)(x-log(1+x)))*dx= root(3)(2)*int_(0)^(1) 1/x^(2alpha+2/3)*dx$.
Tale integrale, ricordando la serie armonica, dovrebbe convergere per $2alpha+2/3>1 => alpha>1/6$, e divergere per $alpha <= 1/6 $.
$ int_(0)^(1) 1/(x^(2alpha)*root(3)(x-log(1+x)))*dx $
converge.
Osserviamo che $ lim_(x -> 0^+) f(x)=+infty $ e che la funzione integranda non è definita per $x=0$, pertanto siamo in presenza di un integrale improprio.
Considerato che $ log(1+x) \sim x - x^2/2 + o(x^2)$, otteniamo che $ root(3)(x-log(1+x)) \sim root(3)(x-x+x^2/2+o(x^2))=root(3) (x^2/2+o(x^2))$, il tutto per $x->0$.
Detto questo $ f(x)=1/(x^(2alpha)*root(3)(x^2/2))=root(3)(2)/x^(2alpha+2/3)$, quindi otteniamo $ int_(0)^(1) 1/(x^(2alpha)*root(3)(x-log(1+x)))*dx= root(3)(2)*int_(0)^(1) 1/x^(2alpha+2/3)*dx$.
Tale integrale, ricordando la serie armonica, dovrebbe convergere per $2alpha+2/3>1 => alpha>1/6$, e divergere per $alpha <= 1/6 $.
Risposte
Attenzione stai integrando nell'origine. E'il contrario della serie armonica. Quindi $2\alpha+\frac{2}{3}<1$. Pensa per esempio a $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ questa è integrabile nell'origine perchè la primitiva è
$\sqrt{x}$, mentre $\frac{1}{x^2}$ no perchè la primitiva è $-\frac{1}{x}$
$\sqrt{x}$, mentre $\frac{1}{x^2}$ no perchè la primitiva è $-\frac{1}{x}$
Non capisco il motivo per il quale, visto che sto integrando all'origine, è il contrario di una serie armonica. Ho capito il discorso delle primitive, ma non capisco il nesso.
il discorso della serie lo puoi fare quando stai integrando qualcosa che va a zero all'infinito quindi tutti i passaggi dovrebbero essere:
da $\int_0^1 \frac{1}{x^a}dx$ cambi variabile $y=\frac{1}{x}$ da cui
$\int_1^{\infty} y^{a-2} dy$ a questo punto applichi il "criterio della serie" per cui hai la convergenza se $a-2<-1$ ossia se $a<1$ come ti dicevo io
Nota: il discorso di convergenza della serie armonica ha come dimostrazione il criterio integrale che consiste nel confrontare la serie armonica con l'integrale
$\int_1^{\infty} \frac{1}{x^a}$ di cui sai calcolare le primitive e sai dire quando converge. Quindi la convergenza della serie è una conseguenza di uno studio che fai sull'integrale e non il viceversa
da $\int_0^1 \frac{1}{x^a}dx$ cambi variabile $y=\frac{1}{x}$ da cui
$\int_1^{\infty} y^{a-2} dy$ a questo punto applichi il "criterio della serie" per cui hai la convergenza se $a-2<-1$ ossia se $a<1$ come ti dicevo io
Nota: il discorso di convergenza della serie armonica ha come dimostrazione il criterio integrale che consiste nel confrontare la serie armonica con l'integrale
$\int_1^{\infty} \frac{1}{x^a}$ di cui sai calcolare le primitive e sai dire quando converge. Quindi la convergenza della serie è una conseguenza di uno studio che fai sull'integrale e non il viceversa
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