Integrale improprio
Ciao a tutti! Sono alle prese con un integrale improprio:
$\int_{-oo}^{+oo} (arcotanx)/x^alpha dx$
Le singolarità sono gli estremi e secondo me anche pigreco...
Per +e- infinito confronto la funzione integranda con $1/x^alpha$ che converge per $alpha>1$
per pigreco confrotno con $1/(pi-x)^alpha$???
Comunque il risultato è : converge tra ]1,2[....
$\int_{-oo}^{+oo} (arcotanx)/x^alpha dx$
Le singolarità sono gli estremi e secondo me anche pigreco...
Per +e- infinito confronto la funzione integranda con $1/x^alpha$ che converge per $alpha>1$
per pigreco confrotno con $1/(pi-x)^alpha$???
Comunque il risultato è : converge tra ]1,2[....
Risposte
Mi spiegheresti perchè $pi$ dovrebbe essere una singolarità?
(Al numeratore c'è arcotangente od arcocotangente?)
(Al numeratore c'è arcotangente od arcocotangente?)
Non ho sbagliato cmq non viene lostesso... arcotangente
Allora $f(x):=(arctan x)/x^alpha$ è definita in $]0,+oo[$, quindi l'integrale esteso ad $RR=]-oo,+oo[$ non ha senso per tutti i valori di $alpha$.
Poi, ammesso pure che l'integrale sia esteso al solo $]0,+oo[$, la domanda che devi porti innanzitutto è: "Come si comporta $f(x)$ in $0$ al variare di $alpha>0$?".
Insomma, oltre a guardare il comportamento di $f$ in $+ oo$ (che hai risolto bene), devi vedere un po' cosa succede ad $f$ anche in $0$: invero, $0$ potrebbe essere un punto singolare intorno al quale $f$ non è sommabile.
Poi, ammesso pure che l'integrale sia esteso al solo $]0,+oo[$, la domanda che devi porti innanzitutto è: "Come si comporta $f(x)$ in $0$ al variare di $alpha>0$?".
Insomma, oltre a guardare il comportamento di $f$ in $+ oo$ (che hai risolto bene), devi vedere un po' cosa succede ad $f$ anche in $0$: invero, $0$ potrebbe essere un punto singolare intorno al quale $f$ non è sommabile.
In x ->0 la confronto con $1/x^(alpha-1)$ che converge per $alpha-1<1$ quindi $alpha<2$ quindi viene giusto...grazie
Aspetta!!!
Che giusto, stiamo scherzando???
Come cavolo fai a definire $(-1)^(3/2)$?
P.S.: Ho corretto il post precedente; avevo scritto una vaccata abbastanza grossa.
Che giusto, stiamo scherzando???
Come cavolo fai a definire $(-1)^(3/2)$?
P.S.: Ho corretto il post precedente; avevo scritto una vaccata abbastanza grossa.
cosa????
Volevo richiamare al tua attenzione sul fatto che $x^alpha$ non è definita in $]-oo,0[$, quindi il tuo integrale esteso a $RR=]-oo,+oo[$ non ha senso.
(A meno di non mettere $|x|^alpha$ al denominatore, nel qual caso l'integrale diventa banalmente nullo per disparità dell'integranda.)
(A meno di non mettere $|x|^alpha$ al denominatore, nel qual caso l'integrale diventa banalmente nullo per disparità dell'integranda.)
E quindi l'integrale non esiste non capisco nulla con questi integrali impropri...
Non esiste per tutti gli $alpha>=0$.
Dovresti scegliere gli $alpha$ buoni, tipo $alpha=m/n \in QQ$ con frazione r.m.t., non negativa ed $n$ dispari.
E poi non è niente di legato agli integrali impropri; è proprio una questione di insieme di definizione dell'integrando.
Dovresti scegliere gli $alpha$ buoni, tipo $alpha=m/n \in QQ$ con frazione r.m.t., non negativa ed $n$ dispari.
E poi non è niente di legato agli integrali impropri; è proprio una questione di insieme di definizione dell'integrando.
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