Integrale improprio

[valentinax89]

Ho questo integrale

$\int_{-1}^{-1/4} 1/(x^4(1+x^3)^alpha) dx$

trovare i valori del parametro alfa per cui la funzione converge...

Allora per prima cosa trovo le singolarità: trovo la singolarità in -1 mentre in -1/4 no...giusto?

Poi per x-> -1 $1/(1+x^3)^alpha$ e quindi converge per alfa<1

Però la soluzione mi dice che converge per 0
Dove sbaglio????

[alle.fabbri]

forse nel testo ti danno un $\alpha > 0$ ??

[valentinax89]

No, mi dice solo determinare quali valori di alfa è convergente il seguente integrale

[dissonance]

Eh, ma quando $alpha$ è negativo ti sembra che la funzione integranda sia definita? Calcola l'insieme di definizione di $1/(x^4(1+x^3)^alpha)$.

[valentinax89]

Si hai ragione... cmq sono giuste le singolarità?

[dissonance]

Mi sono espresso male, la mia non era una domanda retorica, ti avevo seriamente proposto di calcolare l'insieme di definizione. Cosa che a questo punto faccio io visto che serve. La funzione è definita e continua in $(-1, 0)uu(0, infty)$, per ogni $alpha$ reale. Chiaro, se $alpha$ assume valori particolari (ad esempio $alpha=0$) l'insieme di definizione è più grande. Ma non ci interessa.

Quindi volendo integrare nell'intervallo $[-1, -1/4]$, hai ragione a dire che l'unico punto che ti dà problemi è $-1$. Ma adesso ti consiglio di continuare da sola. Quello che hai scritto nei post precedenti è sbagliato, e purtroppo io non sono stato attento e non me ne sono accorto subito. Quale criterio possiamo applicare immediatamente? Per prima cosa chiediti perché il punto -1 ti dà problemi. Nel nostro caso, la funzione ha in -1 un punto "di infinito"...Ha quindi senso chiedersi: la funzione integranda è infinita, si, ma di quale ordine? Prova.

[valentinax89]

Inanzitutto grazie per le risposte... Io userei il criterio del cronfronto.

[dissonance]

Del confronto, certo. Ma che tipo di confronto? Hai studiato il confronto asintotico?

[valentinax89]

Si ma non capisco molto bene cioè ho ancora qualche dubbio. In -1 prendo la funzione integranda e la confronto con una simile. Ma non capisco bene come fare.

[dissonance]

Pensa a delle funzioni facili da gestire, delle quali conosci l'integrabilità. E' una buona idea cominciare dagli "infiniti campione" $1/(x-(-1))^p$. Tu sai quando questi sono integrabili: se e solo se $p<1$.
E inoltre è facile confrontare una funzione data con uno di questi "infiniti campione": basta determinare l'ordine di infinito della funzione data.

Quindi il tutto si riduce a: qual'è l'ordine di infinito di $1/[x^4(1+x^3)^alpha]$ per $x\to-1$?

[dissonance]

P.S.: La soluzione è questa: l'ordine di infinito è esattamente $alpha$, quando $alpha>0$.
Per $alpha<=0$ la funzione non è infinita, perché è uguale a $(1+x^3)^(-alpha)/x^4$, continua in tutto l'intervallo $[-1, -1/4]$.

Concludiamo che la funzione è integrabile "in senso classico" per $alpha<=0$, integrabile in senso improprio per $0=1$.

[valentinax89]

Penso sia 4

[gugo82]

"dissonance":l'ordine di infinito è esattamente $alpha$, quando $alpha>0$.

Per rendertene conto ricorda che $x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$.

[valentinax89]

Mi dispiace ma non ho capito scusate ma sono veramente mi creano problemi non riesco a capire.

[valentinax89]

Puoi spiegarmi per piacere come arrivi alla soluzione.

[adaBTTLS1]

no, scusate, le scomposizioni di somma e differenza di cubi sono:
$(x^3+1)=(x+1)(x^2-x+1)$ e $(x^3-1)=(x-1)(x^2+x+1)$, perché $(x^3+1)$ non è divisibile per $(x-1)$.
per il resto non ho seguito molto la discussione...

[dissonance]

@valentinax89: Scriviamo così la funzione: $1/x^4*1/(1+x^3)^alpha$. Supponiamo $alpha>0$, per gli altri $alpha$ quello non è un infinito e non c'è da fare nulla.
Come si calcola l'ordine di infinito in -1? Si confronta asintoticamente con $1/[x-(-1)]^p$. Ovvero, si calcola il limite $[1/x^4*1/(1+x^3)^alpha]/[1/[x-(-1)]^p]$ per $x\to-1$ al variare di $p$, e si trova l'unico $p$ che rende il limite finito (nel concreto si fa così, se vuoi una trattazione teorica più esauriente di recente l'ha scritta Gugo, appena la trovo ti posto il link).
Calcoliamo quindi $lim_{x\to-1}1/(x^4)*(x+1)^p/(x^3+1)^alpha$. Se poni $p=alpha$, quanto fa questo limite? Non ci interessa sapere il risultato, è sufficiente sapere che è un numero reale finito. Beh, adesso non mi dire che non sai calcolare questo limite. Usa le scomposizioni citate da Gugo e corrette da adaBTTLS.

[gugo82]

"adaBTTLS":no, scusate, le scomposizioni di somma e differenza di cubi sono:
$(x^3+1)=(x+1)(x^2-x+1)$ e $(x^3-1)=(x-1)(x^2+x+1)$, perché $(x^3+1)$ non è divisibile per $(x-1)$.
per il resto non ho seguito molto la discussione...

Sì, evidentemente ho confuso i segni.

[valentinax89]

Grazie mille... comunque risolvendo il limite trovo un numero reale finito. Poi guardando gli esercizi già svolti faccio il confronto asintotico e mi viene che l'integrale converge per alfa<1. Posso chiederti un ultimi cosa (se hai voglia di rispondermi )? Perchè la soluzione è per alfa compreso tra 0 e 1.
Comunque grazie ancora.

[dissonance]

Questo fatto di $0

Concludiamo che la funzione è integrabile "in senso classico" per $alpha<=0$, integrabile in senso improprio per $0=1$.

Quindi anche per le $alpha$ negative la funzione è integrabile, anzi lo è a maggior ragione perché si tratta di un normale integrale di funzioni continue e limitate. Forse l'autore del tuo libro voleva segnalare questo fatto.

[valentinax89]

Molte grazie mi sei stato molto d'aiuto...