Integrale improprio
verificare x quali valori di n$in$N converge l'integrale improprio(calcolarlo per il più grande di essi)
$\int_0^(+infty) x^(2n+1)/(x+1)^3dx$
secondo me dovrebbe essere ke l'integrale è circa uguale a $\x^(2n+1)/x^6=x^(2n+1-6)$ e quindi$\n>3$
sul libro xo c'è la soluzione $\n<=1$
[mod="Tipper"]Titolo modificato (no titoli in maiuscolo).
PS: piccola88, sei pregata di lasciarlo così senza ri-modificarlo[/mod]
$\int_0^(+infty) x^(2n+1)/(x+1)^3dx$
secondo me dovrebbe essere ke l'integrale è circa uguale a $\x^(2n+1)/x^6=x^(2n+1-6)$ e quindi$\n>3$
sul libro xo c'è la soluzione $\n<=1$
[mod="Tipper"]Titolo modificato (no titoli in maiuscolo).
PS: piccola88, sei pregata di lasciarlo così senza ri-modificarlo[/mod]
Risposte
Deve essere che:
$lim_(x to +oo) (x^(2n+1))/(x+1)^3 = 0$
Altrimenti l'integrale diverge, quindi $n<=0$. Per $n=0$:
$int_0^(+oo) x/(x+1)^3 dx = int_0^(+oo) -1/(x+1)^3 dx + int_0^(+oo) 1/(x+1)^2 dx = [1/(2*(x+1)^2) - 1/(x+1)]_0^(+oo) = 1/2$
Se fosse come dice il libro ($n<=1$) vedi che:
$int_0^(+oo) x^3/(x+1)^3 dx = int_0^(+oo) [1+(3x^2+3x+1)/(1+x)^3] dx = int_0^(+oo) 1 dx - int_0^(+oo)(3x^2+3x+1)/(1+x)^3 dx$
qui vedi che il primo integrale diverge.
$lim_(x to +oo) (x^(2n+1))/(x+1)^3 = 0$
Altrimenti l'integrale diverge, quindi $n<=0$. Per $n=0$:
$int_0^(+oo) x/(x+1)^3 dx = int_0^(+oo) -1/(x+1)^3 dx + int_0^(+oo) 1/(x+1)^2 dx = [1/(2*(x+1)^2) - 1/(x+1)]_0^(+oo) = 1/2$
Se fosse come dice il libro ($n<=1$) vedi che:
$int_0^(+oo) x^3/(x+1)^3 dx = int_0^(+oo) [1+(3x^2+3x+1)/(1+x)^3] dx = int_0^(+oo) 1 dx - int_0^(+oo)(3x^2+3x+1)/(1+x)^3 dx$
qui vedi che il primo integrale diverge.
come fa ad uscire$<=0$
Siccome $n in NN$ allora il grado del numeratore deve essere inferiore a quello del denominatore, visto che $n=1$ li eguaglia, il numero immediatamente più piccolo è $n=0$ 
eh ma perchè il grado del denominatore deve essere maggiore?
Perchè il limite scritto sopra deve dare $0$
l'integrale non è $\int_0^(+infty) x^(2n+1)/(x+1)^3dx$
ma..
$\int_0^(+infty) x^(2n+1)/(x^2+1)^3dx$
in questo caso il ragionamento ke avevo fatto prima dovrebbe andar bene no?
ma..
$\int_0^(+infty) x^(2n+1)/(x^2+1)^3dx$
in questo caso il ragionamento ke avevo fatto prima dovrebbe andar bene no?
"piccola88":
l'integrale non è $\int_0^(+infty) x^(2n+1)/(x+1)^3dx$
ma..
$\int_0^(+infty) x^(2n+1)/(x^2+1)^3dx$
in questo caso il ragionamento ke avevo fatto prima dovrebbe andar bene no?
In tal caso affinchè la funzione sia infinitesima a $+oo$,come già ti è stato detto è necessario che il grado del numeratore sia minore di quello del denomitatore che in tal caso è $6$,dunque:
$2n+1<6$=>$n<2$
ed in effetti otteniamo che per $n<=1$ la funzione è sommabile in $[0,+oo[$.Di fatto quando devi studiare la sommabilità a $+$ o $-$ infinito,la condizione necessaria è che il lim a $+$ o $-$ infinito sia zero,detto ciò la funzione è sommabile se oltre a valere tale condizione è infinitesima di ordine $>1$,come in effetti accade in questo caso per $n<=1$.
ok....pensodi aver capito!
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