Integrale improprio

[jestripa-votailprof]

ciao!
$int_0^{+oo} x^2/(sqrt(1+x^5))dx$

allora la funzione è infinitesiam per $x to +oo$

prendo come infinito campione $f(x)=1/x$
scrivo la funzione come:
$g(x)=sqrt(1+x^5)=x^3sqrt(1+1/x^5)$

cosi:
$lim_(x to +oo) f(x)/g(x)=sqrt(1+1/x^5)=1$
il limite è finto quindi l'integrale dovrebbe convergere MA se nn ricordo male se l'ordine di infinitesimo è minore o uguale a uno (in questo caso g(x) è infinitesima di ordine uno rispetto a f(x) )la funzione non è integrabile in senso generalizzato,quindi diverge.
dove sta l'intoppo?

[Luca.Lussardi]

In un intorno destro dello zero la funzione integranda è limitata, quindi alla fin dei conti l'integrale è improprio solo a $+\infty$.

[jestripa-votailprof]

non capisco......
quello che ho fatto è sbagliato?

[Luca.Lussardi]

Non capisco bene l'ultimo limite che hai scritto..... comunque il denominatore va come $x^{5/2}$, per cui il tutto va come $1/x^{5/2-2}=1/(x^{1/2})$, e quindi hai divergenza dell'integrale.

[jestripa-votailprof]

se concordi con me sul fatto che l'integrale è improprio per $+oo$ come mi spieghi l'ordine dell'infinitesimo che è pari a 1???
il mio prof vuole che li svolgiamo così e visto che nn sono molto pratica di infiniti ed infinitesimi spero di nn aver fatto qualche errore....


allora
$lim_(x to +oo) (1/x)/(1/(x(sqrt(1+1/x^5)))$
$=lim_(x to +oo) sqrt(1+1/x^5)=1$

[jestripa-votailprof]

mi spieghi come si ragiona?
da dove viene fuori 5/2?

[jestripa-votailprof]

mi spieghi come si ragiona?
da dove viene fuori 5/2?

[Marco512]

"jestripa":mi spieghi come si ragiona?
da dove viene fuori 5/2?

Viene fuori dal fatto che la quantità sotto radice è circa uguale a $x^5$, perchè per x grandi l'1 in più non cambia il comportamento della funzione.
Ora hai solo $x^5$, che sotto radice diventa $(x^5)^(1/2)$, proprietà delle potenze, $x^(5/2)$.
Sempre per le proprietà delle potenze la funzione sotto integrale è $1/x^(1/2)$, che integrata diventa radice di x. Se ora fai il limite per x che tende a infinito di radice di x cosa trovi?

[Luca.Lussardi]

Non è tanto il limite per $x \to +\infty$ di $1/\sqrt x$ che conta quanto il fatto che l'integranda è della forma $1/(x^a)$ per $0

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[ViciousGoblin]

@jestripa

è sbagliato questo passaggio

$\sqrt{1+x^5}=x^3\sqrt{1+1/{x^5}}$

in realtà viene

$\sqrt{1+x^5}=x^{5/2}\sqrt{1+1/{x^5}}$

[Marco512]

Ciao Luca.

Si, effettivamente non avevo osservato bene la funzione