Integrale improprio

[Sam881]

Salve,
volevo una conferma dello svolgimento del seguente intergrale improprio:
$int (log (x+1))/((x^a)(e^sqrt(x) - 1)) dx $ nell'intervallo $(0,+∞)$ dove $a$ è un parametro reale.

ù

Saluti, Simone

NOTA nel primo passaggio ho erroneamente scritto il simbolo "=" in luogo di "˜" (asintotico).

[Sam881]

"Sam88":Salve,
volevo una conferma dello svolgimento del seguente intergrale improprio:
$int (log (x+1))/((x^a)(e^sqrt(x) - 1)) dx $ nell'intervallo $(0,+∞)$ dove $a$ è un parametro reale.

ù

Saluti, Simone

NOTA nel primo passaggio ho erroneamente scritto il simbolo "=" in luogo di "˜" (asintotico).

Vi sarei grato se riusciste a darmi conferma dei passaggi entro stasera....
Grazie in anticipo, Simone

[Sk_Anonymous]

La prima parte, quella relativa allo 0 è corretta, invece non capisco la seconda parte (potrebbe essere colpa mia perché sono secoli che non faccio esercizi del genere), ma nelle conclusioni devi tener conto del primo risultato ottenuto $alpha<3/2$.

[Sam881]

"amelia":La prima parte, quella relativa allo 0 è corretta, invece non capisco la seconda parte (potrebbe essere colpa mia perché sono secoli che non faccio esercizi del genere), ma nelle conclusioni devi tener conto del primo risultato ottenuto $alpha<3/2$.

Si in effetti scritto in quella maniera non è molto chiaro....manca la soluzione finale ossia $a<3/2$;
il mio dubbio era nell'uso che ho fatto della gerarchia degli infiniti nell'analisi del secondo integrale tra $1$ e $+∞$...
è giusto dire che quel limite tende a zero per qualsiasi valore di $a$?
Grazie per la risposta

[gugo82]

Sì, è giusto.
Infatti sostituendo $y=sqrtx$, trovi:

$(log(1+x))/(x^a*(e^sqrtx -1))=(log(1+y^2))/(y^(2a)*(e^y-1))=(2logy+log(1+1/y^2))/(y^(2a)*(e^y-1)) quad$;

quando $yto +oo$ l'ultimo membro si presenta nella forma indeterminata $oo/oo$: tuttavia la presenza al numeratore del logaritmo ed al denominatore dell'esponenziale ti dice che l'ultimo membro, comunque tu scelga $a in RR$, è un infinitesimo in $+oo$ d'ordine infinitamente grande rispetto ad $1/x$.
Ovviamente lo stesso vale per la funzione di partenza $(log(1+x))/(x^a*(e^sqrtx -1))$.

Buono studio.