Integrale improprio

[Piera4]

Studiare la convergenza di
$int_1^(+infty)(-1)^[[x]]*(arctanx)/xdx$,
dove [*] è la parte intera di *.

[gugo82]

"Piera":Studiare la convergenza di
$int_1^(+infty)(-1)^[[x]]*(arctanx)/xdx$,
dove

è la parte intera di *.

L'integrale non è assolutamente convergente, poichè il modulo dell'integrando è un infinitesimo d'ordine uno in $+oo$, quindi dobbiamo studiarne la convergenza semplice.

Possiamo pensare di scrivere $[1,+oo[=cup_n [n,n+1[$ e per la proprietà additiva dell'integrale troviamo:

(*) $int_1^(+infty)(-1)^[[x]]*(arctanx)/xdx=lim_n int_1^(n+1)(-1)^[[x]]*(arctanx)/xdx=lim_n \sum_{k=1}^{n}(-1)^k*int_k^(k+1)(arctanx)/xdx=\sum_{n=1}^{+oo}(-1)^n*int_n^(n+1)(arctanx)/xdx$;

posto $AA n in NN,\quad a_n=int_n^(n+1)(arctanx)/xdx>0$, lo studio della convergenza dell'integrale assegnato è ridotto alla determinazione del carattere della serie a segni alterni $\sum (-1)^n*a_n$.
Cerchiamo di applicare il criterio di Leibniz: per stabilire la convergenza della serie dobbiamo provare che $(a_n)$ è decrescente ed infinitesima.

Con un po' di calcoli ed un confronto grafico si stabilisce che la funzione $f(x)=(arctan x)/x$ è strettamente decrescente in $[1,+oo[$, quindi $AA n in NN$ si ha:

$AAx in [n,n+1[,\quad f(n)ge f(x) >0\quad =>\quad f(n)ge int_n^(n+1) f(x) dx>0$,

e da ciò, passando al limite su $n$ ed invocando il Teorema "dei carabinieri", traiamo $a_n rarr 0$. D'altra parte il Teorema della media ci assicura che, per ogni fissato $n in NN$, è possibile determinare due numeri $theta in [n,n+1]$ e $tau in [n+1,n+2]$ in modo che:

$f(theta)=int_n^(n+1) f(x) dx\quad $ e $\quad f(tau)=int_(n+1)^(n+2) f(x) dx$;

vista la decrescenza stretta di $f(x)$ è evidente che risulta $a_n=f(theta) ge f(tau)=a_(n+1)$.
Ne consegue che la successione $(a_n)$ verifica le ipotesi del teorema di Leibniz, cosicchè possimo affermare che la serie $\sum (-1)^n a_n$ è convergente.
Dalla (*) segue allora che l'integrale improprio assegnato è convergente e il suo valore uguaglia la somma della serie.

[Piera4]

Ok!