Integrale improprio!

[Ziko1]

Come risolvo il seguente integrale?

$int_0^1 1/(ln(x)*sqrt(x)) dx $

Dovrebbe divergere, ma non riesco a capire come si risolve.

Grazie 1000 in anticipo!

[spassky]

"Ziko":Come risolvo il seguente integrale?

$int_0^1 1/(ln(x)*sqrt(x)) dx $

Dovrebbe divergere, ma non riesco a capire come si risolve.

Grazie 1000 in anticipo!

Puoi semplicemente sostiture $sqrt(x)=t$ e risolvere per sostituzione, ottenendo il $ln(0)$ e un termine finito.
Il che fa divergere l'integrale...

[ELWOOD1]

ti consiglio il teorema del confronto...

[Ziko1]

"spassky":[quote="Ziko"]Come risolvo il seguente integrale?

$int_0^1 1/(ln(x)*sqrt(x)) dx $

Dovrebbe divergere, ma non riesco a capire come si risolve.

Grazie 1000 in anticipo!

Puoi semplicemente sostiture $sqrt(x)=t$ e risolvere per sostituzione, ottenendo il $ln(0)$ e un termine finito.
Il che fa divergere l'integrale...[/quote]

Se io faccio questa sostituzione ottengo:

$int_0^1 (2t)/(2ln(t)*t)dt = int_0^1 1/ln(t) dt

A questo punto però cosa devo fare?

"ELWOOD":
ti consiglio il teorema del confronto...

Ci avevo pensato, ma non so con cosa confrontarlo!

[ELWOOD1]

potresti ad esempio confrontarlo con $\int_(0)^(1)\frac{1}{ln(x)} >= \int_(0)^(1)\frac{1}{ln(x)\sqrt(x)}$
infatti tra 0 e 1 il logaritmo ha un comportamento analogo (se non uguale ma rispecchiato) alla funzione $1/x$ che in quell'intervallo sai divergere, il mio è un ragionamento di buon occhio e forse credo sia più formale il procedimento descritto da spassky

Ciao e buona domenica

[Piera4]

$lim_(x->1^(-))(1/(sqrtxlnx))/(1/(x-1))=lim_(x->1^(-))(x-1)/(sqrtxlnx)=1$.
Pertanto la funzione si comporta per $x->1^(-)$ come $1/(x-1)$ che come è ben noto ha integrale divergente.

[_Tipper]

Oppure si potrebbe notare che per $t>0$ risulta $t > \ln(t)$, di conseguenza $\frac{1}{t} \le \frac{1}{\ln(t)}$; visto che $\int_{0}^{1} \frac{1}{t} dt$ diverge...

[Ziko1]

Ottimo grazie a tutti!