Integrale improprio
Salve a tutti! Vi propongo un quesito: dire per quali $a \in\mathbb(R)$ converge:
$\int_{\pi}^{+\infty} |sin(x)|^{x^a} dx $ .
Grazie a tutti coloro che vorranno intervenire.
$\int_{\pi}^{+\infty} |sin(x)|^{x^a} dx $ .
Grazie a tutti coloro che vorranno intervenire.
Risposte
"Woody":
Salve a tutti! Vi propongo un quesito: dire per quali $a \in\mathbb(R)$ converge:
$\int_{\pi}^{+\infty} |sin(x)|^{x^a} dx $ .
Grazie a tutti coloro che vorranno intervenire.
Non saprei, credo non converga mai... poichè $|sin(x)|$ assume infinite volte il valore 1 e $x^a$ è sempre positivo.
Non sono sicuro!
"carlo23":
Non saprei, credo non converga mai... poichè $|sin(x)|$ assume infinite volte il valore 1 e $x^a$ è sempre positivo.
Consideriamo la funzione $f(x)$ definita da:
$f(x) = |x - 2n|^{2n^2+1} \qquad -1+2n \leq x \leq 1+2n , \quad\forall n \in mathbb(Z) $.
Calcoliamo:
$\int_0^{\infty} f(x)dx = \lim_{y->\infty} \int_0^y f(x)dx$ . Abbiamo che:
$\int_0^{2n-1} f(x)dx \leq \int_0^y f(x)dx \leq \int_0^{2n+1} f(x)dx$
dove $n$ è il massimo intero tale che: $2n-1 \leq y$ , cioè: $n = [(y+1)/2]$. Osserviamo:
$\int_0^{2n-1} f(x)dx =$
$\int_0^1 f(x)dx + \int_1^{2n-1} f(x)dx =$
$\int_0^1 |x|dx + \sum_{k=1}^{n-1}\int_(-1+2k}^{1+2k} f(x)dx =$
$1/2 + \sum_{k=1}^{n-1}\int_{-1+2k}^{1+2k} |x-2k|^{2k^2+1}dx =$
$1/2 + \sum_{k=1}^{n-1}(2/(2k^2+2)) $ che converge se $n -> \infty$. Analogamente, si ottiene che:
$\int_0^{2n+1} f(x)dx$ converge per $n -> \infty$; poichè i limiti dei due integrali ovviamente coincidono, ne risulta che, passando al limite per $y -> \infty$ nella relazione:
$\int_0^{2n-1} f(x)dx \leq \int_0^y f(x)dx \leq \int_0^{2n+1} f(x)dx$
ne risulta che l'integrale:
$\int_0^{\infty} f(x)dx$ converge, nonostante la funzione integranda assuma infinite volte il valore 1 per $y -> \infty$
L'altro ieri ho mi sono messo a pensare a questo esercizio e ho trovato un risultato parziale:
$\int_{\pi}^{\infty} |sin(x)|^{x^\alpha} dx < \infty \qquad\forall\alpha > 2 $ .
DIM: Sia $n\in NN$. Abbiamo: $\int_{\pi}^{\pi n} |sin(x)|^{x^\alpha} dx = \sum_{k=1}^{n-1}\int_{\pi k}^{\pi (k+1)} |sin(x)|^{x^\alpha} dx $.
Effettuiamo la sostituzione: $x = t + k \pi$ in ogni integrale: $\int_{\pi k}^{\pi (k+1)} |sin(x)|^{x^\alpha} dx$ e abbiamo:
$\int_{\pi}^{\pi n} |sin(x)|^{x^\alpha} dx = \sum_{k=1}^{n-1}\int_{0}^{\pi} |sin(t)|^{(t+k\pi)^\alpha} dt = \int_{0}^{\pi} (\sum_{k=1}^{n-1} |sin(t)|^{(t+k\pi)^\alpha}) dt \leq \int_0^{\pi}(\sum_{k=1}^{n-1} |sin(t)|^{(k\pi)^\alpha}) dt$ (*)
Fissiamo adesso $p>0$ , definiamo: $\beta = (k\pi)^\alpha$ e consideriamo la serie di funzioni: $\sum_{k=1}^{\infty} (\pi/2 - t)^p\cdot (sin(t))^\beta \qquad\forall t\in [0,\pi]$ . (**)
Determiniamo $p$ ed $\alpha$ in modo tale che la serie (**) converge totalmente in $[0, pi/2]$. Sia: $g_k(t) = (\pi/2 - t)^p\cdot |sin(t)|^\beta \qquad\forall t\in [0,\pi/2]$, $\forall k \in NN$ .
$g'_k(t) = -p(\pi/2-t)^{p-1}(sin(t))^\beta + (\pi/2-t)^p\beta cos(t)(sin(t))^{\beta-1} = (\pi/2-t)^{p-1}(sin(t))^{\beta-1} [-p sin(t)+\beta(\pi/2-t)cos(t)]$ . Segue: $g'_k(t) = 0 \Leftarrow\Rightarrow \pi/2-t = p \tan(t)/\beta $. (***)
Si verifica facilmente che esiste un'unica soluzione di (***) in $[0, \pi/2]$ . Sia $t_\beta$ tale soluzione; in particolare, $t_\beta$ è una successione di indice $k$. Si vede facilmente che $t_\beta$ è crescente, dunque ammette limite. Sia: $t_0 = lim_{k-> \infty} t_\beta$ .
Naturalmente $t_\beta \leq \pi/2$ ; se però fosse $t_\beta < \pi/2$ si avrebbe: $tg(t)$ limitato per $k->\infty$; $\Rightarrow$ per la (**) $\pi/2 - t_\beta -> 0 \Rightarrow t_\beta -> 0 \Rightarrow tg(t) -> \infty$. Assurdo. Dunque $t_0 = \pi/2$.
Poichè: $g_k(t) \geq 0 \forall t\in [0,\pi/2]$, $g_k(0) = g_k(\pi/2) = 0$ , risulta: $g_k(t_\beta)$ è il max assoluto di $g_k$ in $[0,\pi/2]$ . Dalla (***) segue che:
$\beta cos(t_\beta)(\pi/2-t_\beta) = p sin(t_\beta) -> p $ per $k->\infty$. Dunque:
$\beta (\pi/2-t_\beta)^2$ asintotico a $\beta (\pi/2-t_\beta)cos(t_\beta)$ asintotico a $p$ . Quindi si ottiene:
$max_{t \in [0,\pi/2]} |g_k(t)| = g_k(t_\beta) = (\pi/2-t)^p(sin(t_\beta))$ asintotico a $1/\beta^{p/2} = 1/(k\pi)^{\alpha p/2}$ . Se poniamo: $\alpha > 2/p$ abbiamo che:
$\sum_{k=1}^{\infty} 1/(k\pi)^{\alpha p/2} < \infty$ e quindi, per il criterio degli infinitesimi, $\sum_{k=1}^{\infty} max_{t \in [0,\pi/2]} |g_k(t)| < \infty $.
Abbiamo dunque dimostrato che la (**) converge totalmente in $[0,\pi/2]$, $\forall p >0$, $\forall\alpha > 2/p$ .
Per il teorema sull'inversione dei limiti:
$\lim_{t->{\pi/2}^-}\lim_{k->\infty} (\pi/2-t)^p\sum_{k=1}^n (sin(t))^{(k\pi)^\alpha} = \lim_{k->\infty}\lim_{t->{\pi/2}^-} (\pi/2-t)^p\sum_{k=1}^n (sin(t))^{(k\pi)^\alpha} = 0 \qquad\forall p>0 \quad \alpha>2/p => $
$lim_{t->\pi/2} (\pi/2-t)^p\sum_{k=1}^\infty (sin(t))^{(k\pi)^\alpha} = 0 \qquad\forall p>0 \quad \alpha>2/p \qquad => $
$\sum_{k=1}^\infty (sin(t))^{(k\pi)^\alpha} = o(1/(\pi/2-t)^p)$ per $t->{\pi/2}^-$, $\forall p>0 \quad \alpha>2/p$ . Perciò, se scegliamo: $0
$\int_0^{\pi/2} \sum_{k=1}^{\infty} (sin(t))^{(k\pi)^\alpha} < \infty \forall \alpha>2$ , e quindi:
$\int_0^{\pi/2} \sum_{k=1}^{\infty} (sin(t))^{(k\pi)^\alpha} < \infty \forall \alpha>2$ .
Ricordando la (*), poichè $|sin(t)|\geq 0$ , abbiamo:
$\int_{\pi}^{\pi n} |sin(x)|^{x^\alpha} dx \leq \int(\sum_{k=1}^{\infty} |sin(t)|^{(k\pi)^\alpha}) dt < infty \qquad \forall n\in NN \qquad =>$
$\int_{\pi}^{\infty} |sin(x)|^{x^\alpha} dx \leq \int(\sum_{k=1}^{\infty} |sin(t)|^{(k\pi)^\alpha}) dt
Se ci sono errori, segnalatemeli.
$\int_{\pi}^{\infty} |sin(x)|^{x^\alpha} dx < \infty \qquad\forall\alpha > 2 $ .
DIM: Sia $n\in NN$. Abbiamo: $\int_{\pi}^{\pi n} |sin(x)|^{x^\alpha} dx = \sum_{k=1}^{n-1}\int_{\pi k}^{\pi (k+1)} |sin(x)|^{x^\alpha} dx $.
Effettuiamo la sostituzione: $x = t + k \pi$ in ogni integrale: $\int_{\pi k}^{\pi (k+1)} |sin(x)|^{x^\alpha} dx$ e abbiamo:
$\int_{\pi}^{\pi n} |sin(x)|^{x^\alpha} dx = \sum_{k=1}^{n-1}\int_{0}^{\pi} |sin(t)|^{(t+k\pi)^\alpha} dt = \int_{0}^{\pi} (\sum_{k=1}^{n-1} |sin(t)|^{(t+k\pi)^\alpha}) dt \leq \int_0^{\pi}(\sum_{k=1}^{n-1} |sin(t)|^{(k\pi)^\alpha}) dt$ (*)
Fissiamo adesso $p>0$ , definiamo: $\beta = (k\pi)^\alpha$ e consideriamo la serie di funzioni: $\sum_{k=1}^{\infty} (\pi/2 - t)^p\cdot (sin(t))^\beta \qquad\forall t\in [0,\pi]$ . (**)
Determiniamo $p$ ed $\alpha$ in modo tale che la serie (**) converge totalmente in $[0, pi/2]$. Sia: $g_k(t) = (\pi/2 - t)^p\cdot |sin(t)|^\beta \qquad\forall t\in [0,\pi/2]$, $\forall k \in NN$ .
$g'_k(t) = -p(\pi/2-t)^{p-1}(sin(t))^\beta + (\pi/2-t)^p\beta cos(t)(sin(t))^{\beta-1} = (\pi/2-t)^{p-1}(sin(t))^{\beta-1} [-p sin(t)+\beta(\pi/2-t)cos(t)]$ . Segue: $g'_k(t) = 0 \Leftarrow\Rightarrow \pi/2-t = p \tan(t)/\beta $. (***)
Si verifica facilmente che esiste un'unica soluzione di (***) in $[0, \pi/2]$ . Sia $t_\beta$ tale soluzione; in particolare, $t_\beta$ è una successione di indice $k$. Si vede facilmente che $t_\beta$ è crescente, dunque ammette limite. Sia: $t_0 = lim_{k-> \infty} t_\beta$ .
Naturalmente $t_\beta \leq \pi/2$ ; se però fosse $t_\beta < \pi/2$ si avrebbe: $tg(t)$ limitato per $k->\infty$; $\Rightarrow$ per la (**) $\pi/2 - t_\beta -> 0 \Rightarrow t_\beta -> 0 \Rightarrow tg(t) -> \infty$. Assurdo. Dunque $t_0 = \pi/2$.
Poichè: $g_k(t) \geq 0 \forall t\in [0,\pi/2]$, $g_k(0) = g_k(\pi/2) = 0$ , risulta: $g_k(t_\beta)$ è il max assoluto di $g_k$ in $[0,\pi/2]$ . Dalla (***) segue che:
$\beta cos(t_\beta)(\pi/2-t_\beta) = p sin(t_\beta) -> p $ per $k->\infty$. Dunque:
$\beta (\pi/2-t_\beta)^2$ asintotico a $\beta (\pi/2-t_\beta)cos(t_\beta)$ asintotico a $p$ . Quindi si ottiene:
$max_{t \in [0,\pi/2]} |g_k(t)| = g_k(t_\beta) = (\pi/2-t)^p(sin(t_\beta))$ asintotico a $1/\beta^{p/2} = 1/(k\pi)^{\alpha p/2}$ . Se poniamo: $\alpha > 2/p$ abbiamo che:
$\sum_{k=1}^{\infty} 1/(k\pi)^{\alpha p/2} < \infty$ e quindi, per il criterio degli infinitesimi, $\sum_{k=1}^{\infty} max_{t \in [0,\pi/2]} |g_k(t)| < \infty $.
Abbiamo dunque dimostrato che la (**) converge totalmente in $[0,\pi/2]$, $\forall p >0$, $\forall\alpha > 2/p$ .
Per il teorema sull'inversione dei limiti:
$\lim_{t->{\pi/2}^-}\lim_{k->\infty} (\pi/2-t)^p\sum_{k=1}^n (sin(t))^{(k\pi)^\alpha} = \lim_{k->\infty}\lim_{t->{\pi/2}^-} (\pi/2-t)^p\sum_{k=1}^n (sin(t))^{(k\pi)^\alpha} = 0 \qquad\forall p>0 \quad \alpha>2/p => $
$lim_{t->\pi/2} (\pi/2-t)^p\sum_{k=1}^\infty (sin(t))^{(k\pi)^\alpha} = 0 \qquad\forall p>0 \quad \alpha>2/p \qquad => $
$\sum_{k=1}^\infty (sin(t))^{(k\pi)^\alpha} = o(1/(\pi/2-t)^p)$ per $t->{\pi/2}^-$, $\forall p>0 \quad \alpha>2/p$ . Perciò, se scegliamo: $0
$\int_0^{\pi/2} \sum_{k=1}^{\infty} (sin(t))^{(k\pi)^\alpha} < \infty \forall \alpha>2$ , e quindi:
$\int_0^{\pi/2} \sum_{k=1}^{\infty} (sin(t))^{(k\pi)^\alpha} < \infty \forall \alpha>2$ .
Ricordando la (*), poichè $|sin(t)|\geq 0$ , abbiamo:
$\int_{\pi}^{\pi n} |sin(x)|^{x^\alpha} dx \leq \int(\sum_{k=1}^{\infty} |sin(t)|^{(k\pi)^\alpha}) dt < infty \qquad \forall n\in NN \qquad =>$
$\int_{\pi}^{\infty} |sin(x)|^{x^\alpha} dx \leq \int(\sum_{k=1}^{\infty} |sin(t)|^{(k\pi)^\alpha}) dt
Se ci sono errori, segnalatemeli.
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