Integrale improprio

[weblan]

Qualcuno mi può illuminare su questo integrale:

$$\int_2^{+\infty}{\dfrac{1}{log^3(x)}dx}$$

[Mephlip]

Cosa hai provato a fare?

[weblan]

"Mephlip":Cosa hai provato a fare?

Un attimo che posto quello che ho fatto, lo voglio scrivere in LaTex

Vi ringrazio se date uno sguardo

[weblan]

\(\displaystyle \)Iniziamo con l'osservare che $\lim_{x\to +\infty}\frac{e^x}{x^n}=+\infty$ e sappiamo che tale relazione vale $\forall n\geq 1$.\\

Possiamo dire che esiste un $x_0 \in \mathbb{R}$ tale che $\forall x>x_0$ si ha che $e^x>x^n$.\\

Non ci sono dubbi che esiste $\overline{x}$ tale che $log(\overline{x})=x_0$, infatti $\overline{x}=e^{x_0}$ è il valore cercato.\\



Ora se prendiamo $x>\overline{x}$, allora $log(x)>log(\overline{x})=x_0$ e quindi poichè $\forall x>\overline{x}$ si ha che $e^x>x^n$, possiamo concludere che:\\


$\forall x>\overline{x}\rightarrow e^{log(x)}>[log(x)]^n$




$\forall x>\overline{x}\rightarrow x>log^n(x)$




$\forall x>\overline{x}\rightarrow\frac{1}{x}<\frac{1}{log^n(x)}$


Poichè $\int_2^{+\infty}\frac{1}{x}dx=+\infty\rightarrow\int_2^{+\infty}\frac{1}{log^n(x)}dx=+\infty $
e in particolare $\int_2^{+\infty}\frac{1}{log^3(x)}dx=+\infty$

[Mathita]

@weblan, ci sono problemi con il latex. Ho tentato di interpretare ciò che hai scritto e, modulo latex, mi sembra che sia tutto ok. Prova a modificare il messaggio e a correggere i comandi. (\hspace non serve, prova a sostituirlo con una virgola).

[Mephlip]

Sono d'accordo con Mathita; anche a me sembra tutto corretto. Aggiungo solamente che si ha $\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^n}=\infty$ per ogni $n\in\mathbb{R}$ e non solo per ogni $n \ge 1$. Ma non è che sia un errore, semplicemente volevo evidenziare che il ragionamento funziona lo stesso anche per dimostrare che $\int_2^\infty \frac{1}{\log^{0.001} x} \text{d}x$ diverge.

[weblan]

In realtà forse è giusto dire che vale per ogni $\alpha\in\mathbb{R^+}$, si può provare che $\int_2^{+\infty}\frac{1}{ln^{\alpha}x}dx=+\infty$

[Mephlip]

Se $\alpha \le 0$ si vede subito che diverge comunque, perché la funzione integranda è $1$ oppure tende a $\infty$ per $x\to \infty$ e, in entrambi i casi, viene integrata su un intervallo illimitato superiormente.

[weblan]

"Mephlip":Se $\alpha \le 0$ si vede subito che diverge comunque, perché la funzione integranda è $1$ oppure tende a $\infty$ per $x\to \infty$ e viene integrata su un intervallo illimitato superiormente.

Ovvio che se $\alpha\in\mathbb{R}^-$

$\int_2^{+\infty}\frac{1}{ln^{\alpha}x}dx=\int_2^{+\infty}ln^{-\alpha}xdx=+\infty$