Integrale improprio
ciao a tutti, non riesco a risolvere questo integrale improprio, qualcuno mi potrebbe aiutare?
Stabilire il carattere del seguente integrale improprio e calcolare il suo valore:
$ int_(1)^(+oo ) (log(2+x^(1/2)))/x^(3/2) dx $
non saprei come procedere... so che dovrei fare il limite $b->oo$ di $ int_(1)^(b ) (log(2+x^(1/2)))/x^(3/2) dx $ e calcolare l'integrale
ho provato a procedere con un integrazione per parti ponendo $f(x)=log(2+x^(1/2))$ e $g'(x)=1/x^(3/2)$ ma sono giunta a un punto morto e non so come fare...
Qualcuno mi potrebbe aiutare a risolverla? grazie in anticipo
Stabilire il carattere del seguente integrale improprio e calcolare il suo valore:
$ int_(1)^(+oo ) (log(2+x^(1/2)))/x^(3/2) dx $
non saprei come procedere... so che dovrei fare il limite $b->oo$ di $ int_(1)^(b ) (log(2+x^(1/2)))/x^(3/2) dx $ e calcolare l'integrale
ho provato a procedere con un integrazione per parti ponendo $f(x)=log(2+x^(1/2))$ e $g'(x)=1/x^(3/2)$ ma sono giunta a un punto morto e non so come fare...
Qualcuno mi potrebbe aiutare a risolverla? grazie in anticipo
Risposte
Ciao! Riguardo alla parte sul carattere dell'integrale, hai studiato la teoria sugli integrali impropri? Non è sempre possibile calcolare esplicitamente l'integrale, o comunque può risultare abbastanza laborioso. L'obiettivo è quindi cercare di ricondursi a delle funzioni confronto, di cui sai già il comportamento. Su praticamente tutti i libri di testo in cui si trattano gli integrali impropri c'è questa sezione.
Comunque, il tuo approccio andava bene. Si calcola così quell'integrale. Ricorda che $x^{1/2}=\sqrt{x}$ e che $x^{3/2}=x\sqrt{x}$ per $x \ge 1$. Prova a porre $t=\sqrt{x}$ prima di integrare per parti.
Comunque, il tuo approccio andava bene. Si calcola così quell'integrale. Ricorda che $x^{1/2}=\sqrt{x}$ e che $x^{3/2}=x\sqrt{x}$ per $x \ge 1$. Prova a porre $t=\sqrt{x}$ prima di integrare per parti.
Ciao glitch000,
Perché dici che sei giunta ad un punto morto? Considerando l'integrale indefinito e procedendo per parti esattamente come hai pensato di fare si ha:
$\int(log(2+x^(1/2)))/x^(3/2) \text{d}x = - 2/(\sqrt{x}) log(2 + \sqrt{x}) - \int (- 2/(\sqrt{x})) cdot 1/(2 + \sqrt{x}) \cdot 1/(2 \sqrt{x}) \text{d}x = $
$ = - 2/(\sqrt{x}) log(\sqrt{x} + 2) + \int 1/(x(2 + \sqrt{x})) \text{d}x $
A questo punto per risolvere quest'ultimo integrale diventa evidente l'opportunità di usare la posizione $t = \sqrt{x} \implies \text{d}t = 1/(2\sqrt{x}) \text{d}x \implies \text{d}x = 2t \text{d}t $ che ti ha già suggerito Mephlip:
$ \int 1/(x(2 + \sqrt{x})) \text{d}x = \int 1/(t^2(2 + t)) \cdot 2t \text{d}t = 2 \int 1/(t(t + 2)) \text{d}t = \int 1/t \text{d}t - \int 1/(t + 2) \text{d}t = $
$ = log|t| - log|t + 2| + c = log\sqrt{x} - log(\sqrt{x} + 2) + c$
Pertanto si ha:
$\int(log(2+x^(1/2)))/x^(3/2) \text{d}x = (- 2/(\sqrt{x}) - 1) log(\sqrt{x} + 2) + log\sqrt{x} + c $
Quindi in definitiva per l'integrale proposto si ha:
$\lim_{b \to +\infty} \int_1^b (log(2 + x^{1/2}))/x^{3/2} \text{d}x = \lim_{b \to +\infty}[(- 2/(\sqrt{x}) - 1) log(\sqrt{x} + 2) + log\sqrt{x}]_1^b = $
$ = \lim_{b \to +\infty} [(- 2/(\sqrt{b}) - 1) log(\sqrt{b} + 2) + log\sqrt{b} + 3 log3 ] = 3 log3 = log27 $
"glitch000":
ho provato a procedere con un integrazione per parti ponendo $f(x)=log(2+x^{1/2})$ e $g'(x)=1/x^{3/2} $ ma sono giunta a un punto morto e non so come fare...
Perché dici che sei giunta ad un punto morto? Considerando l'integrale indefinito e procedendo per parti esattamente come hai pensato di fare si ha:
$\int(log(2+x^(1/2)))/x^(3/2) \text{d}x = - 2/(\sqrt{x}) log(2 + \sqrt{x}) - \int (- 2/(\sqrt{x})) cdot 1/(2 + \sqrt{x}) \cdot 1/(2 \sqrt{x}) \text{d}x = $
$ = - 2/(\sqrt{x}) log(\sqrt{x} + 2) + \int 1/(x(2 + \sqrt{x})) \text{d}x $
A questo punto per risolvere quest'ultimo integrale diventa evidente l'opportunità di usare la posizione $t = \sqrt{x} \implies \text{d}t = 1/(2\sqrt{x}) \text{d}x \implies \text{d}x = 2t \text{d}t $ che ti ha già suggerito Mephlip:
$ \int 1/(x(2 + \sqrt{x})) \text{d}x = \int 1/(t^2(2 + t)) \cdot 2t \text{d}t = 2 \int 1/(t(t + 2)) \text{d}t = \int 1/t \text{d}t - \int 1/(t + 2) \text{d}t = $
$ = log|t| - log|t + 2| + c = log\sqrt{x} - log(\sqrt{x} + 2) + c$
Pertanto si ha:
$\int(log(2+x^(1/2)))/x^(3/2) \text{d}x = (- 2/(\sqrt{x}) - 1) log(\sqrt{x} + 2) + log\sqrt{x} + c $
Quindi in definitiva per l'integrale proposto si ha:
$\lim_{b \to +\infty} \int_1^b (log(2 + x^{1/2}))/x^{3/2} \text{d}x = \lim_{b \to +\infty}[(- 2/(\sqrt{x}) - 1) log(\sqrt{x} + 2) + log\sqrt{x}]_1^b = $
$ = \lim_{b \to +\infty} [(- 2/(\sqrt{b}) - 1) log(\sqrt{b} + 2) + log\sqrt{b} + 3 log3 ] = 3 log3 = log27 $
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