Integrale improprio
Salve a tutti, non capisco come "studiare" questo integrale improprio: $int_{-1}^{4} x/(x^2-9) dx$.
Il determinatore si annulla a x=3 e di conseguenza divido l'integrale improprio in due: $int_{-1}^{3} x/(x^2-9) dx + int_{3}^{4} x/(x^2-9) dx$
Lo aggiusto e lo riosolvo:
$1/2(int_{-1}^{3} 2x/(x^2-9) dx + int_{3}^{4} 2x/(x^2-9) dx)=-1/2(ln(8)-lim_(c->3^(-))(ln|c^2-9|)+lim_(c->3^(+))(ln|c^2-9|)-ln(7))$
Il problema che esce una forma indeterminata del tipo $+oo-oo$.
Ho provato anche con i criteri di convergenza, come confronto asintotico e confronto ma niente, resta il problema della forma indeterminata.
Qualcuno può aiutarmi?
Il determinatore si annulla a x=3 e di conseguenza divido l'integrale improprio in due: $int_{-1}^{3} x/(x^2-9) dx + int_{3}^{4} x/(x^2-9) dx$
Lo aggiusto e lo riosolvo:
$1/2(int_{-1}^{3} 2x/(x^2-9) dx + int_{3}^{4} 2x/(x^2-9) dx)=-1/2(ln(8)-lim_(c->3^(-))(ln|c^2-9|)+lim_(c->3^(+))(ln|c^2-9|)-ln(7))$
Il problema che esce una forma indeterminata del tipo $+oo-oo$.
Ho provato anche con i criteri di convergenza, come confronto asintotico e confronto ma niente, resta il problema della forma indeterminata.
Qualcuno può aiutarmi?
Risposte
Ciao Darius00,
L'integrale improprio proposto non converge, a meno che tu non lo intenda nel senso del valor principale di Cauchy, come mi sembra dai conti che hai riportato nell'OP... In tal caso si ha:
$PV \int_{-1}^{4} x/(x^2-9) \text{d}x = - 1/2 ln(8/7) $
L'integrale improprio proposto non converge, a meno che tu non lo intenda nel senso del valor principale di Cauchy, come mi sembra dai conti che hai riportato nell'OP... In tal caso si ha:
$PV \int_{-1}^{4} x/(x^2-9) \text{d}x = - 1/2 ln(8/7) $
"pilloeffe":
Ciao Darius00,
L'integrale improprio proposto non converge, a meno che tu non lo intenda nel senso del valor principale di Cauchy, come mi sembra dai conti che hai riportato nell'OP... In tal caso si ha:
$PV \int_{-1}^{4} x/(x^2-9) \text{d}x = - 1/2 ln(8/7) $
Ciao piloeffe, grazie per la risposta. No, non lo intendo in quel senso. L'esercizio mi dice semplicemente di "studiarlo" e di solito ciò si traduce in vedere se converge o meno ... a parte che ho corretto un errore sul segno, non so come poter scrivere che l'integrale non converge, mi spiego meglio: dopo che mi sono calcolato il risultato, ossia l'ultimo passaggio, risolvendo quei limiti, mi escono due infiniti di segno opposto e questo mi destabilizza un pò... posso affermare che l'integrale non converge semplicemente per la presenza di questi infiniti? Vedendo il grafico noto che "l'area negativa che va a meno infinito" è molto simile a quella "che va a più infinito" e nella mia mente ho pensato si potesse compensare... ma sicuramente sbaglio
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