Integrale improprio
Credo di avere un dubbio sugli integrali impropri (e davvero semplice) mi blocco.
Ossia non capisco perché $\int_(-oo)^(+oo) x dx$ diverga, intuitivamente mi pare le due parti della funzione dispari si compensino. Come potrei mostrarlo che divergono?
Un secondo esempio è anche $\int_(-oo)^(+oo) 1/x^n dx$ vedo che divergono sempre, ma sfruttando i modi che conosco di integrali impropri notevoli o di calcolo diretto mi impantano perché magari converge a infinito ma non a zero (la funzione infatti lì non è definita e in zero ci passo per forza). Mi trovo che da una parte converge e dall'altra no... e quindi?
Chiedo un aiuto sui due casi
Grazie per l'aiuto
Ossia non capisco perché $\int_(-oo)^(+oo) x dx$ diverga, intuitivamente mi pare le due parti della funzione dispari si compensino. Come potrei mostrarlo che divergono?
Un secondo esempio è anche $\int_(-oo)^(+oo) 1/x^n dx$ vedo che divergono sempre, ma sfruttando i modi che conosco di integrali impropri notevoli o di calcolo diretto mi impantano perché magari converge a infinito ma non a zero (la funzione infatti lì non è definita e in zero ci passo per forza). Mi trovo che da una parte converge e dall'altra no... e quindi?
Chiedo un aiuto sui due casi
Grazie per l'aiuto
Risposte
In questi casi la primitiva la puoi calcolare esplicitamente. Calcoli l'integrale e poi fai tendere gli estremi a infinito.
Ossia $\lim_{a \rightarrow +\infty} \int_{-a}^{+a} f(x) \text{dx}$
Nel caso di $f(x)=x$, per ogni $a \in RR$ si ha $\int_{-a}^{a} x dx = \frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{2}=0$, dunque abbiamo $0$ *nel senso del valor principale* (non l'avevo specificato)
Ossia $\lim_{a \rightarrow +\infty} \int_{-a}^{+a} f(x) \text{dx}$
Nel caso di $f(x)=x$, per ogni $a \in RR$ si ha $\int_{-a}^{a} x dx = \frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{2}=0$, dunque abbiamo $0$ *nel senso del valor principale* (non l'avevo specificato)
Guarda ti ringrazio davvero tanto per la risposta.
Già, hai ragione, però non capisco perché wolfram dica che diverge. Dovrebbe divergere ma come dici correttamente $lim( a->oo) (a^2/2-a^2/2)=0$ sempre
"feddy":
di $f(x)=x$, per ogni $a \in RR$ si ha $\int_{-a}^{a} x dx = \frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{2}=0$, dunque abbiamo $0$
Già, hai ragione, però non capisco perché wolfram dica che diverge. Dovrebbe divergere ma come dici correttamente $lim( a->oo) (a^2/2-a^2/2)=0$ sempre
"alifasi":
Credo di avere un dubbio sugli integrali impropri (e davvero semplice) mi blocco.
Ossia non capisco perché $\int_(-oo)^(+oo) x dx$ diverga, intuitivamente mi pare le due parti della funzione dispari si compensino. Come potrei mostrarlo che divergono?
Riguarda la definizione, in casi come questo la definizione standard richiede che spezzi il dominio di integrazione in due parti, scegliendo (a caso) un punto in mezzo. Trovi due integrali impropri (indipendenti) entrambi divergenti [EDIT] (come vedi subito calcolando una primitiva)...quindi concludi...
Il limite "simmetrico", fatto senza spezzare l'intervallo d'integrazione, si chiama (integrale) in valore principale di Cauchy, esiste, è una nozione utile, ma non è quello che stai considerando qui (hai detto "integrale impropri"...).
EDIT: uno positivamente, l'altro negativamente
[Edit: 18.54]
Riguarda la definizione, in casi come questo la definizione standard richiede che spezzi il dominio di integrazione in due parti, scegliendo (a caso) un punto in mezzo. Trovi due integrali impropri (indipendenti) entrambi divergenti positivamente (come vedi subito calcolando una primitiva)...quindi concludi...
Il limite "simmetrico", fatto senza spezzare l'intervallo d'integrazione, si chiama (integrale) in valore principale di Cauchy, esiste, è una nozione utile, ma non è quello che stai considerando qui (hai detto "integrale impropri"...).[/quote]
Ciao
,
ma il fatto è che spezzavo mettiamo in zero:
1) $x^2/2|_(-oo)^0=0-\oo/2$
2) $x^2/2|_(0)^(+oo)=oo/2-0$
1+2) $-oo+oo=?$
Tuttavia dopo le osservazioni di feddy
Già, hai ragione, però non capisco perché wolfram dica che diverge. Dovrebbe divergere ma come dici correttamente $lim( a->oo) (a^2/2-a^2/2)=0$ sempre[/quote]
Mentre wolfram alpha mi dice divergere. Non riesco piùa raccapezzarmi (ho tre visioni diverse e mi sembran tutte valide)
Non riesco a capire l'errore.
"alessio76":
[quote="alifasi"]Credo di avere un dubbio sugli integrali impropri (e davvero semplice) mi blocco.
Ossia non capisco perché $\int_(-oo)^(+oo) x dx$ diverga, intuitivamente mi pare le due parti della funzione dispari si compensino. Come potrei mostrarlo che divergono?
Riguarda la definizione, in casi come questo la definizione standard richiede che spezzi il dominio di integrazione in due parti, scegliendo (a caso) un punto in mezzo. Trovi due integrali impropri (indipendenti) entrambi divergenti positivamente (come vedi subito calcolando una primitiva)...quindi concludi...
Il limite "simmetrico", fatto senza spezzare l'intervallo d'integrazione, si chiama (integrale) in valore principale di Cauchy, esiste, è una nozione utile, ma non è quello che stai considerando qui (hai detto "integrale impropri"...).[/quote]
Ciao
,ma il fatto è che spezzavo mettiamo in zero:
1) $x^2/2|_(-oo)^0=0-\oo/2$
2) $x^2/2|_(0)^(+oo)=oo/2-0$
1+2) $-oo+oo=?$
Tuttavia dopo le osservazioni di feddy
"alifasi":
[quote="feddy"] di $f(x)=x$, per ogni $a \in RR$ si ha $\int_{-a}^{a} x dx = \frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{2}=0$, dunque abbiamo $0$
Già, hai ragione, però non capisco perché wolfram dica che diverge. Dovrebbe divergere ma come dici correttamente $lim( a->oo) (a^2/2-a^2/2)=0$ sempre[/quote]
Mentre wolfram alpha mi dice divergere. Non riesco piùa raccapezzarmi (ho tre visioni diverse e mi sembran tutte valide)
Non riesco a capire l'errore.
"alifasi":
[Edit: 18.54]
[quote="alessio76"][quote="alifasi"]Credo di avere un dubbio sugli integrali impropri (e davvero semplice) mi blocco.
Ossia non capisco perché $\int_(-oo)^(+oo) x dx$ diverga, intuitivamente mi pare le due parti della funzione dispari si compensino. Come potrei mostrarlo che divergono?
Riguarda la definizione, in casi come questo la definizione standard richiede che spezzi il dominio di integrazione in due parti, scegliendo (a caso) un punto in mezzo. Trovi due integrali impropri (indipendenti) entrambi divergenti positivamente (come vedi subito calcolando una primitiva)...quindi concludi...
Il limite "simmetrico", fatto senza spezzare l'intervallo d'integrazione, si chiama (integrale) in valore principale di Cauchy, esiste, è una nozione utile, ma non è quello che stai considerando qui (hai detto "integrale impropri"...).[/quote]
Ciao
,ma il fatto è che spezzavo mettiamo in zero:
1) $x^2/2|_(-oo)^0=0-\oo/2$
2) $x^2/2|_(0)^(+oo)=oo/2-0$
1+2) $-oo+oo=?$
Tuttavia dopo le osservazioni di feddy
"alifasi":
[quote="feddy"] di $f(x)=x$, per ogni $a \in RR$ si ha $\int_{-a}^{a} x dx = \frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{2}=0$, dunque abbiamo $0$
Già, hai ragione, però non capisco perché wolfram dica che diverge. Dovrebbe divergere ma come dici correttamente $lim( a->oo) (a^2/2-a^2/2)=0$ sempre[/quote]
Mentre wolfram alpha mi dice divergere. Non riesco piùa raccapezzarmi (ho tre visioni diverse e mi sembran tutte valide)
Non riesco a capire l'errore.[/quote]
No, non ci sono visioni alternative, ci sono le definizioni che non hai chiare (va detto che alcuni testi sull'argomento non aiutano affatto). Prova a scrivere le definizioni che stai usando concentrandoti sull'isolare il significato delle espressioni (avendo cura di esaurire tutta la casistica possibile e di individuare le locuzioni sinonime/varianti):
1) "l'integrale improprio "converge";
2) l'integrale improprio "diverge";
3) l'integrale improprio "oscilla";
4) l'integrale improprio "non converge";
Vedi, per esempio:
[inline]http://www.dima.unige.it/~zappa/smid/Analisi2-SMID(8%ef%80%a29)-capitolo4.pdf[/inline] (copia e incolla...)
http://www1.mat.uniroma1.it/people/garr ... 2-DMNO.pdf
Grazie Sergio per la puntualizzazione, in effetti avrei dovuto essere più preciso
"Sergio":
Non solo Wolfram, anche Sage (https://it.wikipedia.org/wiki/Sage_(software)) dice che diverge.
Wolfram
Da quanto ho capito studiando e confermato leggendo il tuo link è che l'integrale improprio sia uno strumento per poter integrare anche i casi in cui non rispetta i due dettami imposti da Riemann che ha fomulato nella sua costruzione dell'integrale sfruttando la funzione a scala.
Richiede in modo basilare che:
1) integro su intervallo compatto
2) funzione da integrare definita e limitata sull'intervallo
Per far questo mi riconduco all'integrale in caso finito e lo indebolisco in quel che mi va stretto
(vado a ritroso)
2) la richiesta di limitatezza dell'integranda nell'intervallo chiuso e limitato posso eliminarla prendendo un intervallo [a,b). (Però il dubbio è sull'altra richiesta che segue...)
1) in questo caso l'idea è prendere un intervallo illimitato, per farlo prendo un estremo c e lo mando al limite dopo aver sfruttato il teorema fondamentale del calcolo integrale.
Però far questo mi pare di poterlo fare operativamente sia spezzando l'integrale (sfruttando la proprietà di additività) come ho fatto sopra (in cui trovo la forma indeterminata $-oo+oo$ però e da cui non so uscirne).
Oppure posso fare come fa feddy, ovvero non lo spezzo, lo calcolo con sue parametri "al finito" (le "a") e poi mando a infinito. Però al finito si elide a/2 con -a/2 e quindi il limite di zero per a->oo è comunque zero
Poi c'è wolfram che invece dice divergere. E quidi si c'è una lacuna, ma non riesco a capirla perché la teoria speravo di averla capita
Disastro!
PS: scusate mi sono accavallato nell'editing e ho potuto leggere solo ora le risposte per cui vi ringrazio, credo di non aver la più pallida idea di cosa sia il valore principale e non l'ho mai visto 
. Ci guarderò sicuramente ma vedo che appartiene a corsi futuri quindi non è una lacuna quanto una "lacuna di fabbrica" non nascendo "imparato".
Mi pare di capire quindi che sono costretto a spezzare (ma perché?) dalla teoria (quello che so è qui sopra, sono andato a memoria proprio per vedere e mostrarvi cosa so e nel caso permettervi di individuare cosa NON so) non ho capito il motivo.
E comunque anche spezzando mi viene una dannata forma indeterminata, quindi non dimostro che diverge
Richiede in modo basilare che:
1) integro su intervallo compatto
2) funzione da integrare definita e limitata sull'intervallo
Per far questo mi riconduco all'integrale in caso finito e lo indebolisco in quel che mi va stretto
(vado a ritroso)
2) la richiesta di limitatezza dell'integranda nell'intervallo chiuso e limitato posso eliminarla prendendo un intervallo [a,b). (Però il dubbio è sull'altra richiesta che segue...)
1) in questo caso l'idea è prendere un intervallo illimitato, per farlo prendo un estremo c e lo mando al limite dopo aver sfruttato il teorema fondamentale del calcolo integrale.
Però far questo mi pare di poterlo fare operativamente sia spezzando l'integrale (sfruttando la proprietà di additività) come ho fatto sopra (in cui trovo la forma indeterminata $-oo+oo$ però e da cui non so uscirne).
Oppure posso fare come fa feddy, ovvero non lo spezzo, lo calcolo con sue parametri "al finito" (le "a") e poi mando a infinito. Però al finito si elide a/2 con -a/2 e quindi il limite di zero per a->oo è comunque zero
Poi c'è wolfram che invece dice divergere. E quidi si c'è una lacuna, ma non riesco a capirla perché la teoria speravo di averla capita
Disastro!
PS: scusate mi sono accavallato nell'editing e ho potuto leggere solo ora le risposte per cui vi ringrazio
, credo di non aver la più pallida idea di cosa sia il valore principale e non l'ho mai visto . Ci guarderò sicuramente ma vedo che appartiene a corsi futuri quindi non è una lacuna quanto una "lacuna di fabbrica" non nascendo "imparato".Mi pare di capire quindi che sono costretto a spezzare (ma perché?) dalla teoria (quello che so è qui sopra, sono andato a memoria proprio per vedere e mostrarvi cosa so e nel caso permettervi di individuare cosa NON so) non ho capito il motivo.
E comunque anche spezzando mi viene una dannata forma indeterminata, quindi non dimostro che diverge
@alifasi
Mi ero astenuto perchè poi arriva qualcuno a cazziarmi ma nella sostanza ciò che hai scritto e fatto è corretto.
La definizione di integrale di riemann è in un intervallo continuo e finito. Nella pratica, tutti scrivono gli integrali impropri ma devono essere intesi come limiti.
Nel caso specifico poichè uno può scegliere qualsiasi intervallo $[a,b]$ e poi fare due limiti per poi trovarsi con una forma indeterminata, occorre una definizione...e Cauchy la diede per specifici integrali impropri.
Sempre nel caso specifico, Cauchy dice che se la integranda è una funzione dispari, allora si può scrivere esattamente ciò che ha scritto feddy...ed è per definizione il suo valore principale.
Adesso vengono a cazziarmi così impari di più...
Mi ero astenuto perchè poi arriva qualcuno a cazziarmi ma nella sostanza ciò che hai scritto e fatto è corretto.
La definizione di integrale di riemann è in un intervallo continuo e finito. Nella pratica, tutti scrivono gli integrali impropri ma devono essere intesi come limiti.
Nel caso specifico poichè uno può scegliere qualsiasi intervallo $[a,b]$ e poi fare due limiti per poi trovarsi con una forma indeterminata, occorre una definizione...e Cauchy la diede per specifici integrali impropri.
Sempre nel caso specifico, Cauchy dice che se la integranda è una funzione dispari, allora si può scrivere esattamente ciò che ha scritto feddy...ed è per definizione il suo valore principale.
Adesso vengono a cazziarmi così impari di più...
"alifasi":
Mi pare di capire quindi che sono costretto a spezzare (ma perché?) dalla teoria (quello che so è qui sopra, sono andato a memoria proprio per vedere e mostrarvi cosa so e nel caso permettervi di individuare cosa NON so) non ho capito il motivo.
E comunque anche spezzando mi viene una dannata forma indeterminata, quindi non dimostro che diverge
Penso che la risposta sul perché tu sia "costretto a spezzare", ed in generale anche alla tua seconda domanda, si trovi nel pdf che ti hanno linkato sopra:
Cito testualmente:
Ancora più in generale se una funzione f è definita in un insieme A che è unione finita di intervalli disgiunti della forma $(a, b], [a, b)$ o $(a, b)$ con $oo ≤ a < b ≤ oo$, per dare senso all'integrabilità in senso improprio, si sceglie il seguente procedimento:
– si suddivide l’insieme A (limitato o illimitato) in un numero finito di intervalli, in ciascuno dei quali il problema dell’integrabilità sia presente o in Definizione 1.3 o in Definizione 1.5;
– se tutti gli integrali impropri esistono, la funzione è integrabile in senso improprio nell'insieme di partenza e l’integrale improprio è la somma degli integrali nei singoli intervalli;
– se uno (o più) degli integrali nei sottointervalli non esiste o esiste, ma non è finito, la funzione non è integrabile in senso improprio.
"Bokonon":
@alifasi
Mi ero astenuto perchè poi arriva qualcuno a cazziarmi ma nella sostanza ciò che hai scritto e fatto è corretto.
La definizione di integrale di riemann è in un intervallo continuo e finito. Nella pratica, tutti scrivono gli integrali impropri ma devono essere intesi come limiti.
Nel caso specifico poichè uno può scegliere qualsiasi intervallo $[a,b]$ e poi fare due limiti per poi trovarsi con una forma indeterminata, occorre una definizione...e Cauchy la diede per specifici integrali impropri.
Sempre nel caso specifico, Cauchy dice che se la integranda è una funzione dispari, allora si può scrivere esattamente ciò che ha scritto feddy...ed è per definizione il suo valore principale.
Adesso vengono a cazziarmi così impari di più...
Nell'ipotesi che l'op debba sostenere l'esame di analisi 1...così gli fai solo perdere punti o, peggio, bocciare. Ha solo un problema con le definizioni, soluzione: imparare i nomi (e il senso) delle cose. Mi spiace se ti sembro polemico, non è quello l'intento, spero sia chiaro.
@alessio
L'ha scritto pure Obidream
Per ovviare a ciò in casi specifici si usa il valore principale.
Cos'è che non ti torna?
P.S. in analisi 1 non si fanno queste cose
L'ha scritto pure Obidream
"Obidream":
– se uno (o più) degli integrali nei sottointervalli non esiste o esiste, ma non è finito, la funzione non è integrabile in senso improprio.
Per ovviare a ciò in casi specifici si usa il valore principale.
Cos'è che non ti torna?
P.S. in analisi 1 non si fanno queste cose
"Bokonon":
@alessio
L'ha scritto pure Obidream
[quote="Obidream"]
– se uno (o più) degli integrali nei sottointervalli non esiste o esiste, ma non è finito, la funzione non è integrabile in senso improprio.
Per ovviare a ciò in casi specifici si usa il valore principale.
Cos'è che non ti torna?
P.S. in analisi 1 non si fanno queste cose[/quote]
Obidream ha, correttamente, citato da uno dei link che ho postato per aiutare l'op a comprendere una definizione.
Ciò che si fa in analisi 1 dipende ancora dall'ateneo e dal corso di studi, ovviamente non l'ho scritto a caso.
La questione non è ciò che non torna a me, ma ciò su cui ha chiesto aiuto l'op.
@alessio
Mi conforta perchè io ho scritto:
e poi sono andato a spiegare perchè la soluzione di feddy è:
-scorretta dal punto di vista dell'integrale di Riemann (diverge)
-corretta dal punto di vista della definizione di valore principale di Cauchy
Senza polemica, ma tu cosa hai capito?
Mi conforta perchè io ho scritto:
"Bokonon":
...ciò che hai scritto e fatto è corretto.
e poi sono andato a spiegare perchè la soluzione di feddy è:
-scorretta dal punto di vista dell'integrale di Riemann (diverge)
-corretta dal punto di vista della definizione di valore principale di Cauchy
Senza polemica, ma tu cosa hai capito?
"Bokonon":
@alessio
Mi conforta perchè io ho scritto:
[quote="Bokonon"]
...ciò che hai scritto e fatto è corretto.
e poi sono andato a spiegare perchè la soluzione di feddy è:
-scorretta dal punto di vista dell'integrale di Riemann (diverge)
-corretta dal punto di vista della definizione di valore principale di Cauchy
Senza polemica, ma tu cosa hai capito?[/quote]
Il tuo commento (di cui non intendevo discutere la correttezza dal punto di vista matematico...parentesi nella parentesi: se l'integranda è dispari il vp viene zero, perché quella restrizione? Come lo definisce il logaritmo integrale?) mi è sembrato potenzialmente fuorviante rispetto alla domanda inizialmente posta dall'OP:
Credo di avere un dubbio sugli integrali impropri (e davvero semplice) mi blocco.
Ossia non capisco perché $\int_(-oo)^(+oo) x dx$ diverga, intuitivamente mi pare le due parti della funzione dispari si compensino. Come potrei mostrarlo che divergono?
In che modo lo aiutiamo a capire questo? Spiegandogli il valor principale?
Gli integrali impropri sono spesso un argomento ostico, anche perché la definizione si dà per ampliamenti successivi con vari sotto casi, quindi è molto facile perdersi. Credo che andando ad aggiungere informazioni, correlate sì, ma non strettamente pertinenti si rischi di aumentare il senso di confusione di chi ha posto la domanda. Tra l'altro la confusione tra la nozione di "integrale improprio" e quella di "integrale in valor principale" è uno degli errori tipici che si riscontrano agli esami... Un po' come cercare di calcolare il limite in due variabili $\lim_{(x;y)\to\infty} f(x;y)$ come $\lim_{t\to+\infty} f(t;-t)$ (e perché non, allora $\lim_{t\to+\infty} f(u(t);v(t))$ con altre $u(t)$ e $v(t)$ divergenti per $t\to +\infty$?) "solo" perché il secondo viene finito.
Col che, nulla contro il VP (ci mancherebbe ancora, è utile...) né contro il fatto che sia un bene conoscerlo, ma se uno vuole/deve capire gli integrali impropri deve avere ben chiaro che sono due cose diverse, non solo "punti di vista".
Per questa ragione ho risposto al tuo commento, mi spiace se ti sono sembrato brusco.
"alessio76":
In che modo lo aiutiamo a capire questo? Spiegandogli il valor principale?
Alessio, era già stato introdotto da feddy creando confusione appunto.
Se segui il thread compredi il mio intervento che era mirato a chiarire la cosa.
L'OP ha sollevato una questione perfettamente sensata a cui è stata data una risposta che ha creato una ragionevole confusione.
Poi ho il scritto il post.
Mi rendo conto che la mia risposta ha proprio incasinato le cose, mi scuso con l'OP! Tuttavia ho risposto di getto credendo che la domanda fosse "in quale senso" quell'integrale può fare $0$.
"alifasi":
E comunque anche spezzando mi viene una dannata forma indeterminata, quindi non dimostro che diverge
No, come ti è stato fatto notare da Obidream, nella definizione di integrale improprio per il caso che stai considerando ti si chiede che i due limiti esistano finiti entrambi, indipendentemente l'uno dall'altro: non hai da sciogliere una forma di indecisione... Nel primo link che ti ho postato trovi il caso che ti interessa trattato nel paragrafo 3 (pagina 7) in modo esplicito per una generica integranda $f(x)$: sottocaso 3. In quella dispensa usa la locuzione "integrale improprio indeterminato", in altre puoi trovare "oscillante", in altre ancora "non convergente". Tieni presente che, a volte in inglese puoi trovare "divergent" per tutti i casi in cui l'integrale improprio "non esiste" o è infinito (cfr. slide 4 di https://www.math.upenn.edu/~ryblair/Mat ... _12Sol.pdf).
Ringrazio tutti gli intervenuti!
Cerco di chiarire il contesto: si in realtà devo sostenere analisi 1, in particolare sono un chimico che ha deciso di spostarsi di facoltà, quindi non devo sostenere totalmente analisi 1 ma integrare molte parti e sostenere un colloquio. Ho deciso quindi di rimboccarmi le maniche e riprendere tutto daccapo dato che ho molte lacune e praticamente devo rifarmi analisi 1, alcontempo seguo algebra e algebra lineare, insomma il classico primo anno di matematica.
Per quanto riguarda il PV ho capito che è un'altra definizione e che non ha nulla a che fare con la definizione di integrale improprio, non è un punto di vista, è proprio una definizione di un oggetto diverso.
Tornando al dubbio: per come sono definite dal professore, nel corso, si hanno 3 casi di integrale improprio:
1) L'integrale improprio converge al limite (integrabile impropriamente)
2) Il limite esiste ma è infiito (divergente)
3) Se non esiste limite parla di (oscillante)
Mi ero quindi persuaso che per essere divergente dovesse avere limite infinito, si, ma che fosse anche coerente: in altre parole che avesse segno concorde il "segno di infinito", ora mi pare di aver capito la magagna... il punto è che probabilmente per wolfram (nella sua nomenclatura) deve andare a infinito per essere definito "divergente" (dice divergent), ma non importa con che segno (può appunto anche essere discorde).
Mentre nella mia testa l'avrei appunto chiamato "indeterminato" ma di certo non "divergente" e nemmeno "oscillante" (dato che oscillante è per me quando il limite non esiste).
Poi grazie a feddy che non ha capito la domanda ho capisto una cosa che non avevo capito (inception) ad esempio spezzavo l'intervallo ma lo facevo automaticamente senza essermi mai posto il problema del perché. Mi ha aiutato a evidenziare un dubbio
Cerco di chiarire il contesto: si in realtà devo sostenere analisi 1, in particolare sono un chimico che ha deciso di spostarsi di facoltà, quindi non devo sostenere totalmente analisi 1 ma integrare molte parti e sostenere un colloquio. Ho deciso quindi di rimboccarmi le maniche e riprendere tutto daccapo dato che ho molte lacune e praticamente devo rifarmi analisi 1, alcontempo seguo algebra e algebra lineare, insomma il classico primo anno di matematica.
Per quanto riguarda il PV ho capito che è un'altra definizione e che non ha nulla a che fare con la definizione di integrale improprio, non è un punto di vista, è proprio una definizione di un oggetto diverso.
Tornando al dubbio: per come sono definite dal professore, nel corso, si hanno 3 casi di integrale improprio:
1) L'integrale improprio converge al limite (integrabile impropriamente)
2) Il limite esiste ma è infiito (divergente)
3) Se non esiste limite parla di (oscillante)
Mi ero quindi persuaso che per essere divergente dovesse avere limite infinito, si, ma che fosse anche coerente: in altre parole che avesse segno concorde il "segno di infinito", ora mi pare di aver capito la magagna... il punto è che probabilmente per wolfram (nella sua nomenclatura) deve andare a infinito per essere definito "divergente" (dice divergent), ma non importa con che segno
(può appunto anche essere discorde).Mentre nella mia testa l'avrei appunto chiamato "indeterminato" ma di certo non "divergente" e nemmeno "oscillante" (dato che oscillante è per me quando il limite non esiste).
Poi grazie a feddy che non ha capito la domanda ho capisto una cosa che non avevo capito (inception
) ad esempio spezzavo l'intervallo ma lo facevo automaticamente senza essermi mai posto il problema del perché. Mi ha aiutato a evidenziare un dubbio
"alifasi":
Ringrazio tutti gli intervenuti!
Tornando al dubbio: per come sono definite dal professore, nel corso, si hanno 3 casi di integrale improprio:
1) L'integrale improprio converge al limite (integrabile impropriamente)
2) Il limite esiste ma è infiito (divergente)
3) Se non esiste limite parla di (oscillante)
Mi ero quindi persuaso che per essere divergente dovesse avere limite infinito, si, ma che fosse anche coerente: in altre parole che avesse segno concorde il "segno di infinito", ora mi pare di aver capito la magagna... il punto è che probabilmente per wolfram (nella sua nomenclatura) deve andare a infinito per essere definito "divergente" (dice divergent), ma non importa con che segno
Mentre nella mia testa l'avrei appunto chiamato "indeterminato" ma di certo non "divergente" e nemmeno "oscillante" (dato che oscillante è per me quando il limite non esiste).
In realtà, Wolframalpha scrive correttamente "integral does not converge", ...comunque il dubbio era legittimo.
3) Se non esiste limite [al singolare] parla di (oscillante)
Questo è riduttivo: ti dice cosa fare quando nell'integrale c'è un solo punto problematico da studiare ed è un estremo di integrazione (è il caso base degli integrale impropri). Nel caso tu debba spezzare il dominio di integrazione hai più limiti indipendenti da studiare. Hai convergenza se esistono tutti finiti...devi solo capire che nomenclatura ha scelto il tuo prof per indicare cosa succede nel complementare di questa situazione, che in effetti ha più sottocasi. In bocca al lupo per il tuo percorso.
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