Integrale improprio
ragazzi non so come procedere per risolvere questo integrale: $ int_(0)^(2) x^4/(x^3-8)dx $
prima considerazione: devo trattarlo come se fosse un integrale di funzioni razionali fratte?
con ruffini ho scomposto cosi il denominatore:
$ int_(0)^(2) x^4/((x-2)(x^2+2x+4))dx $
ora dovrei "spezzare" l'integrale in una somma del tipo $(A/(x-2) )+ (B/(x^2+2x+4))$ pero' al numeratore ho $x^4$....
seconda considerazione: perchè questo integrale viene considerato improprio se non ha negli estremi il simbolo $ oo $ ?
prima considerazione: devo trattarlo come se fosse un integrale di funzioni razionali fratte?
con ruffini ho scomposto cosi il denominatore:
$ int_(0)^(2) x^4/((x-2)(x^2+2x+4))dx $
ora dovrei "spezzare" l'integrale in una somma del tipo $(A/(x-2) )+ (B/(x^2+2x+4))$ pero' al numeratore ho $x^4$....
seconda considerazione: perchè questo integrale viene considerato improprio se non ha negli estremi il simbolo $ oo $ ?
Risposte
1) Devi evidentemente ripassarti la teoria degli integrali impropri
2) Cosa ci devi fare con questo integrale? Vedere se converge/diverge o calcolare esplicitamente il valore?
2) Cosa ci devi fare con questo integrale? Vedere se converge/diverge o calcolare esplicitamente il valore?
Calcolare il.valore....
Si ora me la vado a rivedere...
Si ora me la vado a rivedere...
a poco servirebbe calcolarlo dato che diverge
mettiamo il caso che sia $ int_()^() x^4/(x^3-8)dx $ allora ho pensato di :
$ int_()^() (x(x^3-8)+(8x))/(x^3-8)dx $ dopodiche mi ritrovo $ int_()^() x dx +int_()^() (8x)/(x^3-8)dx $ poi porto fuori la costante semplifico il denominatore e diviene
$ x^2/2+8 int_()^() (x-2+2)/((x-2)(x^2+2x+4))dx $ allora mi ritrovo con
è corretto cosi?
$ int_()^() (x(x^3-8)+(8x))/(x^3-8)dx $ dopodiche mi ritrovo $ int_()^() x dx +int_()^() (8x)/(x^3-8)dx $ poi porto fuori la costante semplifico il denominatore e diviene
$ x^2/2+8 int_()^() (x-2+2)/((x-2)(x^2+2x+4))dx $ allora mi ritrovo con
è corretto cosi?
non mi sembra. 8x da dove salta fuori? secondo me lì ti sei dimenticato l'altro pezzo del denominatore
arrivato al penultimo passaggio io userei i fratti semplici
arrivato al penultimo passaggio io userei i fratti semplici
da qua in poi vado di fratti semplici ? $ x^2/2+8 int_()^() (x-2+2)/((x-2)(x^2+2x+4))dx $ ora ci provo e vediamo se riesco... abreve posto
$ x^2/2+8 int_()^() (1/((x^2+2x+4))dx + 8 int_()^() (2)/((x-2)(x^2+2x+4))dx $ allora
$ x^2/2+8 ((1/(sqrt3)) arctg ((x+1)/(sqrt3))) +16 int_()^() (1)/((x-2)(x^2+2x+4))dx $
$ x^2/2+8 ((1/(sqrt3)) arctg ((x+1)/(sqrt3))) +16 int_()^() (1)/((x-2)(x^2+2x+4))dx $
Si vabbé ma fare questa roba non serve a niente, pensa piuttosto a capire cos'è un integrale improprio e perché è tale...ma che vi insegnano
intendevo fratti semplici su $intx/((x-2)(x^2+2x+4))dx$
comunque mi associo al consiglio di @Vulplasir (anche se in maniera meno drastica). è sempre bene allenarsi anche sul calcolo di intergrali ma su questo ha davvero poco senso. prendi altri integrali come banco di prova mentre cerca di ragionare sul perchè questo sia divergente e grazie a quali risultati lo si può affermare
comunque mi associo al consiglio di @Vulplasir (anche se in maniera meno drastica). è sempre bene allenarsi anche sul calcolo di intergrali ma su questo ha davvero poco senso. prendi altri integrali come banco di prova mentre cerca di ragionare sul perchè questo sia divergente e grazie a quali risultati lo si può affermare
ok domani mi riguardo la teoria degli integrali impropri evediamo che esce fuori
@Vulplasir sono autodidatta e praticamente con superficialita' ho saltato gli integrali impropri.... domani mi metto a pari
per ora grazie buonanotte
@Vulplasir sono autodidatta e praticamente con superficialita' ho saltato gli integrali impropri.... domani mi metto a pari
per ora grazie buonanotte
la parte dell'arcotangente comunque mi sembra giusta se proprio decidessi di volerlo calcolare. nel qual caso usa i fratti semplici dove ti ho detto che si semplificano un po' le cose (avendo già calcolato l'integrale dell'arcotangente dovrebbe essere facile concludere il tutto)
Non capisco tutta questa impartanza data alla ricerca delle primitive nei corsi di analisi, nei testi che ho usato se ne fa accenno a malapena in una pagina.
che a volte sia un po' troppo stressata forse sì, ma che sia inutile no. avere una buona base di ricerca di primitive secondo me rende più sicuri anche sulle equazioni differenziali e poi non sai mai che integrali ti possono capitare nella vita (forse un po' estremo). potrebbe capitare che per ricondurti a qualche integrale notevole di cui si conosce il risultato si renda necessario applicare qualche tecnica propria della ricerca di primitive ed allora qui si fa avanti l'esercizio fatto in passato.
IMHO
IMHO
Mah non saprei, io alle superiori sapevo vita morte e miracoli delle tecniche di integrazione, risolvevo qualsiasi integrale a occhi chiusi con le più disparate sostituzioni o altro, lo consideravo più un gioco che altro, ma adesso dopo 3 anni davanti a un integrale un po' articolato non saprei da dove partire. Va bene farne un po', ma pare che al giorno d'oggi ricercare primitive sia il fine ultimo, e magari uno non ha idea del fatto che l'integrale di Riemann in un qualche intervallo di una qualche funzione richiede che l'intervallo e la funzione siano limitati.
"Vulplasir":
ma pare che al giorno d'oggi ricercare primitive sia il fine ultimo
io invece questo non l'ho mai notato. non è nemmeno stata l'impressione che ho avuto quando me li hanno insegnati all'università.
"Vulplasir":
magari uno non ha idea del fatto che l'integrale di Riemann in un qualche intervallo di una qualche funzione richiede che l'intervallo e la funzione siano limitati.
questo concordo sia più importante in effetti, ciò non toglie che basterebbe avere un po' più di riguardo e basta.
dopo questo divagamento speriamo l'utente abbia qualcosa su cui riflettere
ragazzi ho studiato un po di teoria sugli integrali impropri e rimane qualche domanda:
su questo integrale possiamo dire che la zona di integrazione è limitata [0;2] e la funzione integranda è limitata unico problema nasce quando il denominatore è uguale a 0 ovvero quando la x è uguale a 2,quindi possiamo dire che è un integrale improprio monoproblema.
possiamo scriverlo cosi allora: $ lim_(epsilon -> 0^+) int_(0)^(2-epsilon ) x^4/(x^3-8) dx $
la funzione integranda è a segno variabile? secondo me si perchè al valore 1 il denominatore è negativo (1-8=-7)
se si dovrei usare la tecnica di assoluta integrabilita'? ma se l'utente cooper ha dichiarato che questa funzione diverge la cosa è impossibile visto che con questa tecnica posso solo sapere se la funzione converge o no....
su questo integrale possiamo dire che la zona di integrazione è limitata [0;2] e la funzione integranda è limitata unico problema nasce quando il denominatore è uguale a 0 ovvero quando la x è uguale a 2,quindi possiamo dire che è un integrale improprio monoproblema.
possiamo scriverlo cosi allora: $ lim_(epsilon -> 0^+) int_(0)^(2-epsilon ) x^4/(x^3-8) dx $
la funzione integranda è a segno variabile? secondo me si perchè al valore 1 il denominatore è negativo (1-8=-7)
se si dovrei usare la tecnica di assoluta integrabilita'? ma se l'utente cooper ha dichiarato che questa funzione diverge la cosa è impossibile visto che con questa tecnica posso solo sapere se la funzione converge o no....
Ciò che dici sull'intervallo di integrazione è corretto: In realtà ciò che rende improprio l'integrale è proprio la illimitatezza della funzione integranda per $x\to2^-$, perciò ometterei di dire che la funzione è limitata.
Per quanto riguarda il segno della funzione integranda direi che è a segno costante (negativo) in tutto $[0,2)$.
Perciò essendo a segno costante puoi usare il criterio del confronto asintotico: per $x\to2^-$, la funzione integranda è asintotica a $\frac{c}{x-2}$, con $c$ costante; pertanto l'integrale diverge.
L'unica cosa che non sono sicuro di ricordare bene è se il criterio del confronto asintotico può essere usato per integrali con segno costante negativo, ma penso che ciò sia risolvibile moltiplicando per $-1$ l'integranda e fuori dall'integrale: così facendo l'integranda ora è positiva e il carattere dell'integrale non cambia.
Per sicurezza aspetta pareri più esperti
Per quanto riguarda il segno della funzione integranda direi che è a segno costante (negativo) in tutto $[0,2)$.
Perciò essendo a segno costante puoi usare il criterio del confronto asintotico: per $x\to2^-$, la funzione integranda è asintotica a $\frac{c}{x-2}$, con $c$ costante; pertanto l'integrale diverge.
L'unica cosa che non sono sicuro di ricordare bene è se il criterio del confronto asintotico può essere usato per integrali con segno costante negativo, ma penso che ciò sia risolvibile moltiplicando per $-1$ l'integranda e fuori dall'integrale: così facendo l'integranda ora è positiva e il carattere dell'integrale non cambia.
Per sicurezza aspetta pareri più esperti
il tuo secondo post è stato esattamente il mio ragionamento. raccogliendo un segno a denominatore otteniamo una funzione positiva alla quale è applicabile il confronto asintotico. il metodo di moltiplicare sopra e sotto per -1 non mi sembra efficacie perchè mi sembra di ritornare infatti alla convergenza assoluta in quanto:
$-int-f(x)dx=int|f(x)|dx$
$-int-f(x)dx=int|f(x)|dx$
"integrale improprio monoproblema" 
"Vulplasir":
"integrale improprio monoproblema"
è sbagliato?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo