Integrale improprio

[galles90]

Buonasera,

Determinare il carattere del seguente integrale

$int_1^(+\infty)(1-cos(1/x))dx$

Il precedente integrale risulta essere convergente.

$int_1^(+\infty)(1-cos(1/x))dx=int_1^(+\infty) dx- int_1^(+\infty) cos(1/x) dx= lim_(t to +infty)(int_1^(t) dx- int_1^(t) cos(1/x) dx) $

$lim_(t to +infty)int_1^(t) dx=lim_(t to +infty) (t-1)=infty $.

Già da questo deduco che ho sbagliato qualcosa.
Mi potreste dare una mano, grazie.

Cordiali saluti.

[galles90]

Ciao,
grazie per la risposta.

Si ho provato a dimostrarlo come hai detto, procedendo nel seguente modo, sia:
$int_1^(+ infty)cos(1/x) dx$

posto

$1/x=t to x=1/t $ ne segue $dx=-1/t^2 dt$
per gli estremi di integrazione (sono un pò titubante),
risulta come estremo inferiore, pari a $0$,
risulta come estremo superiore, pari a $1$.
Per cui l'integrale precedente risulta essere:

$int_0^1 -1/t^2cost dt$

da quì, dovrei procedere per parti "per due volte", ovvero:
$int f(t)g'(t)dt=f(t)g(t)-intf'(t)g(t) dt$

pensi che sia corretto?

Ciao

[galles90]

A provare che l'ultimo l'integrale che hai scritto, diverge.

[galles90]

Si, quello che hai detto si basa sul criterio dell'ordine di infinitesimo ?
Ora ho letto l'enunciato, il quale dice:
Sia $f:[a,+infty[ to mathbb{R}$ continua, si ha:

Se $f$ è un infinitesimo in $+infty$ di ordine minore o uguale di $1$ (oppure se $f$ non è un infinitesimo in $+infty$) "nel nostro caso" allora l'integrale improprio di $f$ è assolutamente divergente.