Integrale improprio
Salve a tutti! Sono alle prese con un integrale improprio, ovvero
$ int_(log(2))^(∞) (8-e^x)/(e^(2x)-4) dx $
Per quanto riguarda il comportamento della funzione a $ ∞ $, ho scritto che
$ (8-e^x)/(e^(2x)-4)~ 1/e^x<= 1/x^2 $ e dato che $ 1/x^2 $ converge, allora $ 1/e^x $ converge $ rArr $ $ (8-e^x)/(e^(2x)-4) $ converge a $ ∞ $.
Invece non so bene come comportarmi nell'altro estremo, ovvero $ log(2) $. Avevo provato a scrivere il polinomio di Taylor di $ e^x $ con centro $ log(2) $ per scriverne un polinomio asintotico ma non mi ha portato a nessun risultato
$ int_(log(2))^(∞) (8-e^x)/(e^(2x)-4) dx $
Per quanto riguarda il comportamento della funzione a $ ∞ $, ho scritto che
$ (8-e^x)/(e^(2x)-4)~ 1/e^x<= 1/x^2 $ e dato che $ 1/x^2 $ converge, allora $ 1/e^x $ converge $ rArr $ $ (8-e^x)/(e^(2x)-4) $ converge a $ ∞ $.
Invece non so bene come comportarmi nell'altro estremo, ovvero $ log(2) $. Avevo provato a scrivere il polinomio di Taylor di $ e^x $ con centro $ log(2) $ per scriverne un polinomio asintotico ma non mi ha portato a nessun risultato
Risposte
Prova a sostituire $t=x-log2$
Ho scritto $ t=x-log(2) $ e dunque l'integrale diventa
$ int_(0)^(∞) (4-e^t)/(2e^(2t)-2) dt $
E applicando Taylor, $ (4-e^t)/(2e^(2t)-2)~ 3/(4t) $, dunque l'integrale di partenza è asintotico in $ log(2) $ a $ 1/(x-log(2) $ e dato che quest'ultimo è divergente, concludo che anche l'integrale iniziale diverge.
Spero di aver fatto bene
$ int_(0)^(∞) (4-e^t)/(2e^(2t)-2) dt $
E applicando Taylor, $ (4-e^t)/(2e^(2t)-2)~ 3/(4t) $, dunque l'integrale di partenza è asintotico in $ log(2) $ a $ 1/(x-log(2) $ e dato che quest'ultimo è divergente, concludo che anche l'integrale iniziale diverge.
Spero di aver fatto bene
L'esercizio chiede se l'integrale improprio diverge/converge?
No, l'esercizio chiede di calcolare il valore dell'integrale. All'inizio avevo provato a trovare la primitiva e farne il limite ma quest'ultimo mi sembrava un po' laborioso.
Dunque volevo prima cosa di tutto verificare se l'integrale effettivamente converge, perchè in caso negativo posso concludere l'esercizio dicendo che l'integrale diverge senza bisogno di calcolare il limite della primitiva
Dunque volevo prima cosa di tutto verificare se l'integrale effettivamente converge, perchè in caso negativo posso concludere l'esercizio dicendo che l'integrale diverge senza bisogno di calcolare il limite della primitiva
Io stavo provando a fare il limite però ho dei problemi. Ti torna questa primitiva?
$-2x+5/4ln(e^x+2)+3/4ln|e^x-2|+c$
$-2x+5/4ln(e^x+2)+3/4ln|e^x-2|+c$
Si, la primitiva è quella. Il limite all'estremo infinito di tutta quella quantità so che vale zero, anche se non sono riuscito a calcolarlo di mio.
Io ho pensato di spezzare il limite iniziale in somma di due integrali. Il primo integrale tra $ln2+delta$ e $e$, il secondo integrale tra $e$ e $beta$. Il problema è che andando a sostituire gli estremi mi trovo con un $ln0$...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo