Integrale improprio
Salve, qualche giorno fa mi sono imbattuto in questo integrale improprio.
$ int_(1)^(oo) (x+3) / (x^4+1)dx $
Non riesco a risolverlo in nessuna maniera. Avete qualche suggerimento da darmi?
$ int_(1)^(oo) (x+3) / (x^4+1)dx $
Non riesco a risolverlo in nessuna maniera. Avete qualche suggerimento da darmi?
Risposte
Inizia a spezzarlo in due parti.
Ti trovi a dover fare:
A)
$\int frac {x}{x^4+1} dx $
B)
$\int frac {1}{x^4+1} dx $
Per A) proverei a porre $t=x^2$
Ti trovi a dover fare:
A)
$\int frac {x}{x^4+1} dx $
B)
$\int frac {1}{x^4+1} dx $
Per A) proverei a porre $t=x^2$
Per il B) prova $x^4+1=(x^2+sqrt (2)x+1)*(x^2-sqrt (2)+1) $ e scomponi la frazione.
Scusa se non ho risposto prima ma non sono stato a casa. Comunque avevo pensato anche io di scomporlo e fare il primo con la stessa sostituzione. Quindi il primo viene
$ int x /(x^4+1) dx = (arctan x^2)/2 $
Il mio problema era risolvere il secondo. Mai avrei pensato di scomporlo come mi hai consigliato... a proposito come hai fatto?
Ho provato ad andare avanti con il tuo suggerimento ma purtroppo la mia risoluzione è sbagliata perchè derivando la primitiva non mi viene l'integrale di partenza. Posto la mia soluzione.
$ 3int dx/(x^4+1)= 3intdx/(((x^2+sqrt2x+1))(x^2-sqrt2x+1)) = 3 (int (Ax +B)/(x^+sqrt2x+1) + (Cx+D)/(x^2-sqrt2x+1))dx $
da cui ho che
$ A= sqrt2/4 ; B=1/2; C= -sqrt2/4; D = 1/2 $
e quindi in definitiva mi viene
$ int (x+3) /(x^4+1) dx = (arctan x^2)/2 +3sqrt2/8ln (x^2+sqrt2x+1)+3sqrt2/4arctan (sqrt2x+1)-3sqrt2/8ln (x^2-sqrt2x+1)+3sqrt2/4arctan (sqrt2x-1) $
Cosa ho sbagliato? Inoltre volevo sapere se per calcolare l'integrale improprio devo per forza prima ottenere la primitiva dell'integrale indefinito o se ci sono altri metodi, Ho un vago ricordo che non era necessario ma forse è soltanto pura fantasia!
$ int x /(x^4+1) dx = (arctan x^2)/2 $
Il mio problema era risolvere il secondo. Mai avrei pensato di scomporlo come mi hai consigliato... a proposito come hai fatto?
Ho provato ad andare avanti con il tuo suggerimento ma purtroppo la mia risoluzione è sbagliata perchè derivando la primitiva non mi viene l'integrale di partenza. Posto la mia soluzione.
$ 3int dx/(x^4+1)= 3intdx/(((x^2+sqrt2x+1))(x^2-sqrt2x+1)) = 3 (int (Ax +B)/(x^+sqrt2x+1) + (Cx+D)/(x^2-sqrt2x+1))dx $
da cui ho che
$ A= sqrt2/4 ; B=1/2; C= -sqrt2/4; D = 1/2 $
e quindi in definitiva mi viene
$ int (x+3) /(x^4+1) dx = (arctan x^2)/2 +3sqrt2/8ln (x^2+sqrt2x+1)+3sqrt2/4arctan (sqrt2x+1)-3sqrt2/8ln (x^2-sqrt2x+1)+3sqrt2/4arctan (sqrt2x-1) $
Cosa ho sbagliato? Inoltre volevo sapere se per calcolare l'integrale improprio devo per forza prima ottenere la primitiva dell'integrale indefinito o se ci sono altri metodi, Ho un vago ricordo che non era necessario ma forse è soltanto pura fantasia!
Se vuoi sapere come ho fatto a scomporlo :
Ho provato $(x^2+1)^2$ e mi viene $x^4+1+2*x^2$, quindi ho un $2x^2$ di troppo. Voglio scrivere allora $x^4+1$ come differenza di quadrati, avrò $x^4+1=(x^2+1)^2-(A)^2$ con $A^2=2x^2$, come evidenziato prima. Quindi $A=sqrt (2)x $ ed ho $x^4+1=(x^2+1)^2-(sqrt (2)x)^2$.
Ora si tratta di scomporre come somma per differenza.
Ho provato $(x^2+1)^2$ e mi viene $x^4+1+2*x^2$, quindi ho un $2x^2$ di troppo. Voglio scrivere allora $x^4+1$ come differenza di quadrati, avrò $x^4+1=(x^2+1)^2-(A)^2$ con $A^2=2x^2$, come evidenziato prima. Quindi $A=sqrt (2)x $ ed ho $x^4+1=(x^2+1)^2-(sqrt (2)x)^2$.
Ora si tratta di scomporre come somma per differenza.
Ok grazie ho capito come hai fatto.. certo doveva venirmi quell'intuizione iniziale che non è banalissima.
Per quanto riguarda l'integrale per caso l'hai svolto? Non capisco dove sbaglio.. spero possiate darmi una mano perchè l'ho provato più volte ma mi viene sempre la stessa cosa cioè quella che ho postato nel mio commento precedente.
Per quanto riguarda l'integrale per caso l'hai svolto? Non capisco dove sbaglio.. spero possiate darmi una mano perchè l'ho provato più volte ma mi viene sempre la stessa cosa cioè quella che ho postato nel mio commento precedente.
Ciao sirbasic,
Innanzitutto mi risolverei prima l'integrale indefinito seguente:
$\int frac{x+3}{x^4+1} dx $
Decomponendolo in fratti semplici, usando anche il suggerimento di kobeilprofeta, si ha:
$\int frac{x+3}{x^4+1} dx = \int [frac{3\sqrt{2}x + sqrt{2}(3 \sqrt{2} - 1)}{4(x^2 + sqrt{2} x + 1)} - frac{3\sqrt{2}x + sqrt{2}(-3 \sqrt{2} - 1)}{4(x^2 - sqrt{2} x + 1)}] dx =$
$= frac{\sqrt{2}}{4}\int frac{3x + 3\sqrt{2} - 1}{x^2 + sqrt{2} x + 1} dx - frac{\sqrt{2}}{4}\int frac{3x - 3\sqrt{2} - 1}{x^2 - sqrt{2} x + 1} dx $
Risolviamone uno alla volta:
$frac{\sqrt{2}}{4}\int frac{3x + 3\sqrt{2} - 1}{x^2 + sqrt{2} x + 1} dx = frac{\sqrt{2}}{4}\int [frac{3(2x + \sqrt{2})}{2(x^2 + sqrt{2} x + 1)} - frac{3\sqrt{2} - 2(3\sqrt{2} - 1)}{2(x^2 + sqrt{2} x + 1)}] dx =$
$= frac{\sqrt{2}}{4} frac{3}{2}\int frac{2x + \sqrt{2}}{x^2 + sqrt{2} x + 1} dx - frac{\sqrt{2}}{4} frac{1}{2} \int frac{3\sqrt{2} - 2(3\sqrt{2} - 1)}{x^2 + sqrt{2} x + 1} dx =$
$= frac{3\sqrt{2}}{8} \ln(x^2 + sqrt{2} x + 1) - frac{\sqrt{2}}{8} \int frac{2 - 3\sqrt{2}}{x^2 + sqrt{2} x + 1} dx =$
$= frac{3\sqrt{2}}{8} \ln(x^2 + sqrt{2} x + 1) - frac{\sqrt{2} - 3}{4} \int frac{1}{x^2 + sqrt{2} x + 1} dx =$
$= frac{3\sqrt{2}}{8} \ln(x^2 + sqrt{2} x + 1) - frac{\sqrt{2} - 3}{4} \int frac{1}{(x + 1/sqrt{2})^2 + 1/2} dx =$
$= frac{3\sqrt{2}}{8} \ln(x^2 + sqrt{2} x + 1) - frac{\sqrt{2} - 3}{2} \int frac{1}{(sqrt{2} x + 1)^2 + 1} dx =$
$= frac{3\sqrt{2}}{8} \ln(x^2 + sqrt{2} x + 1) - frac{\sqrt{2} - 3}{2 sqrt{2}} \int frac{1}{(sqrt{2} x + 1)^2 + 1} d(sqrt{2} x + 1) =$
$= frac{3\sqrt{2}}{8} \ln(x^2 + sqrt{2} x + 1) - frac{\sqrt{2} - 3}{2 sqrt{2}} \arctan(sqrt{2} x + 1) + c=$
$= frac{3\sqrt{2}}{8} \ln(x^2 + sqrt{2} x + 1) + frac{3\sqrt{2} - 2}{4} \arctan(sqrt{2} x + 1) + c$
Procediamo col secondo integrale, che peraltro è simile al primo:
$frac{\sqrt{2}}{4}\int frac{3x - 3\sqrt{2} - 1}{x^2 - sqrt{2} x + 1} dx = frac{\sqrt{2}}{4}\int [frac{3(2x - \sqrt{2})}{2(x^2 - sqrt{2} x + 1)} - frac{-3\sqrt{2} - 2(-3\sqrt{2} - 1)}{2(x^2 - sqrt{2} x + 1)}] dx =$
$= frac{\sqrt{2}}{4}frac{3}{2}\int frac{2x - \sqrt{2}}{x^2 - sqrt{2}x + 1}dx - frac{\sqrt{2}}{4} frac{1}{2}\int frac{-3\sqrt{2} - 2(-3\sqrt{2} - 1)}{x^2 - sqrt{2} x + 1} dx =$
$= frac{3\sqrt{2}}{8} \ln(x^2 - sqrt{2} x + 1) - frac{\sqrt{2}}{8} \int frac{3\sqrt{2} + 2}{x^2 - sqrt{2} x + 1} dx =$
$= frac{3\sqrt{2}}{8} \ln(x^2 - sqrt{2} x + 1) - frac{\sqrt{2} + 3}{4} \int frac{1}{x^2 - sqrt{2} x + 1} dx =$
$= frac{3\sqrt{2}}{8} \ln(x^2 - sqrt{2} x + 1) - frac{\sqrt{2} + 3}{4} \int frac{1}{(x - 1/sqrt{2})^2 + 1/2} dx =$
$= frac{3\sqrt{2}}{8} \ln(x^2 - sqrt{2} x + 1) - frac{\sqrt{2} + 3}{2} \int frac{1}{(sqrt{2} x - 1)^2 + 1} dx =$
$= frac{3\sqrt{2}}{8} \ln(x^2 - sqrt{2} x + 1) - frac{\sqrt{2} + 3}{2\sqrt{2}} \int frac{1}{(sqrt{2} x - 1)^2 + 1} d(sqrt{2} x - 1)=$
$= frac{3\sqrt{2}}{8} \ln(x^2 - sqrt{2} x + 1) - frac{\sqrt{2} + 3}{2\sqrt{2}} \arctan(sqrt{2} x - 1) + c =$
$= frac{3\sqrt{2}}{8} \ln(x^2 - sqrt{2} x + 1) - frac{3\sqrt{2} + 2}{4} \arctan(sqrt{2} x - 1) + c$
Quindi in definitiva si ha:
$\int frac{x+3}{x^4+1} dx = frac{3\sqrt{2}}{8} \ln(x^2 + sqrt{2} x + 1) + frac{3\sqrt{2} - 2}{4} \arctan(sqrt{2} x + 1) - frac{3\sqrt{2}}{8} \ln(x^2 - sqrt{2} x + 1) + frac{3\sqrt{2} + 2}{4} \arctan(sqrt{2} x - 1) + c =$
$= frac{3\sqrt{2}}{8}[\ln(x^2 + sqrt{2} x + 1) - \ln(x^2 - sqrt{2} x + 1)] + frac{3\sqrt{2} - 2}{4}\arctan(sqrt{2} x + 1) + frac{3\sqrt{2} + 2}{4}\arctan(sqrt{2} x - 1) + c$
Passando ora al calcolo dell'integrale definito si ha:
$\int_{1}^{+\infty} frac{x+3}{x^4+1} dx = [frac{3\sqrt{2}}{8}\ln(frac{x^2 + sqrt{2} x + 1}{x^2 - sqrt{2} x + 1}) + frac{3\sqrt{2} - 2}{4}\arctan(sqrt{2} x + 1) + frac{3\sqrt{2} + 2}{4}\arctan(sqrt{2} x - 1)]_{1}^{+\infty} =$
$= frac{3\sqrt{2} - 2}{4}\cdot frac{\pi}{2} + frac{3\sqrt{2} + 2}{4}\cdot frac{\pi}{2} - frac{3\sqrt{2}}{8}\ln(frac{2 + sqrt{2}}{2 - sqrt{2}}) - frac{3\sqrt{2} - 2}{4}\arctan(sqrt{2} + 1) - frac{3\sqrt{2} + 2}{4}\arctan(sqrt{2} - 1)=$
$= frac{3\sqrt{2}}{4}\pi - frac{3\sqrt{2}}{8}\ln[frac{2(1 + sqrt{2}/2)}{2(1 - sqrt{2}/2)}] - frac{3\sqrt{2} - 2}{4}\cdot frac{3\pi}{8} - frac{3\sqrt{2} + 2}{4}\cdot frac{\pi}{8}=$
$= frac{3\sqrt{2}}{4}\pi - frac{3\sqrt{2}}{8}\ln[frac{(1 + 1/sqrt{2})}{(1 - 1/sqrt{2})}] - frac{9\sqrt{2}}{32}\pi + frac{3}{16}\pi - frac{3\sqrt{2}}{32}\pi - frac{\pi}{16}=$
$= frac{3\sqrt{2}}{4}\pi - frac{3\sqrt{2}}{8}[\ln(1 + 1/sqrt{2}) - \ln(1 - 1/sqrt{2})] -frac{3\sqrt{2}}{8}\pi + frac{1}{8}\pi =$
$= frac{3\sqrt{2}}{8}\pi - frac{3\sqrt{2}}{4}[frac{1}{2}\ln(1 + 1/sqrt{2}) - frac{1}{2}\ln(1 - 1/sqrt{2})] + frac{1}{8}\pi =$
$= frac{3\sqrt{2}}{8}\pi + frac{1}{8}\pi - frac{3\sqrt{2}}{4}\tanh^{-1}(1/sqrt{2}) = $
$ = frac{3\sqrt{2}}{8}\pi + frac{1}{8}\pi - frac{3\sqrt{2}}{4}\coth^{-1}(sqrt{2}) = $
$ = frac{1}{8}\{\pi + 3\sqrt{2}[\pi - 2\coth^{-1}(sqrt{2})]\} $
Diciamo che ne ho visti di più semplici...
Innanzitutto mi risolverei prima l'integrale indefinito seguente:
$\int frac{x+3}{x^4+1} dx $
Decomponendolo in fratti semplici, usando anche il suggerimento di kobeilprofeta, si ha:
$\int frac{x+3}{x^4+1} dx = \int [frac{3\sqrt{2}x + sqrt{2}(3 \sqrt{2} - 1)}{4(x^2 + sqrt{2} x + 1)} - frac{3\sqrt{2}x + sqrt{2}(-3 \sqrt{2} - 1)}{4(x^2 - sqrt{2} x + 1)}] dx =$
$= frac{\sqrt{2}}{4}\int frac{3x + 3\sqrt{2} - 1}{x^2 + sqrt{2} x + 1} dx - frac{\sqrt{2}}{4}\int frac{3x - 3\sqrt{2} - 1}{x^2 - sqrt{2} x + 1} dx $
Risolviamone uno alla volta:
$frac{\sqrt{2}}{4}\int frac{3x + 3\sqrt{2} - 1}{x^2 + sqrt{2} x + 1} dx = frac{\sqrt{2}}{4}\int [frac{3(2x + \sqrt{2})}{2(x^2 + sqrt{2} x + 1)} - frac{3\sqrt{2} - 2(3\sqrt{2} - 1)}{2(x^2 + sqrt{2} x + 1)}] dx =$
$= frac{\sqrt{2}}{4} frac{3}{2}\int frac{2x + \sqrt{2}}{x^2 + sqrt{2} x + 1} dx - frac{\sqrt{2}}{4} frac{1}{2} \int frac{3\sqrt{2} - 2(3\sqrt{2} - 1)}{x^2 + sqrt{2} x + 1} dx =$
$= frac{3\sqrt{2}}{8} \ln(x^2 + sqrt{2} x + 1) - frac{\sqrt{2}}{8} \int frac{2 - 3\sqrt{2}}{x^2 + sqrt{2} x + 1} dx =$
$= frac{3\sqrt{2}}{8} \ln(x^2 + sqrt{2} x + 1) - frac{\sqrt{2} - 3}{4} \int frac{1}{x^2 + sqrt{2} x + 1} dx =$
$= frac{3\sqrt{2}}{8} \ln(x^2 + sqrt{2} x + 1) - frac{\sqrt{2} - 3}{4} \int frac{1}{(x + 1/sqrt{2})^2 + 1/2} dx =$
$= frac{3\sqrt{2}}{8} \ln(x^2 + sqrt{2} x + 1) - frac{\sqrt{2} - 3}{2} \int frac{1}{(sqrt{2} x + 1)^2 + 1} dx =$
$= frac{3\sqrt{2}}{8} \ln(x^2 + sqrt{2} x + 1) - frac{\sqrt{2} - 3}{2 sqrt{2}} \int frac{1}{(sqrt{2} x + 1)^2 + 1} d(sqrt{2} x + 1) =$
$= frac{3\sqrt{2}}{8} \ln(x^2 + sqrt{2} x + 1) - frac{\sqrt{2} - 3}{2 sqrt{2}} \arctan(sqrt{2} x + 1) + c=$
$= frac{3\sqrt{2}}{8} \ln(x^2 + sqrt{2} x + 1) + frac{3\sqrt{2} - 2}{4} \arctan(sqrt{2} x + 1) + c$
Procediamo col secondo integrale, che peraltro è simile al primo:
$frac{\sqrt{2}}{4}\int frac{3x - 3\sqrt{2} - 1}{x^2 - sqrt{2} x + 1} dx = frac{\sqrt{2}}{4}\int [frac{3(2x - \sqrt{2})}{2(x^2 - sqrt{2} x + 1)} - frac{-3\sqrt{2} - 2(-3\sqrt{2} - 1)}{2(x^2 - sqrt{2} x + 1)}] dx =$
$= frac{\sqrt{2}}{4}frac{3}{2}\int frac{2x - \sqrt{2}}{x^2 - sqrt{2}x + 1}dx - frac{\sqrt{2}}{4} frac{1}{2}\int frac{-3\sqrt{2} - 2(-3\sqrt{2} - 1)}{x^2 - sqrt{2} x + 1} dx =$
$= frac{3\sqrt{2}}{8} \ln(x^2 - sqrt{2} x + 1) - frac{\sqrt{2}}{8} \int frac{3\sqrt{2} + 2}{x^2 - sqrt{2} x + 1} dx =$
$= frac{3\sqrt{2}}{8} \ln(x^2 - sqrt{2} x + 1) - frac{\sqrt{2} + 3}{4} \int frac{1}{x^2 - sqrt{2} x + 1} dx =$
$= frac{3\sqrt{2}}{8} \ln(x^2 - sqrt{2} x + 1) - frac{\sqrt{2} + 3}{4} \int frac{1}{(x - 1/sqrt{2})^2 + 1/2} dx =$
$= frac{3\sqrt{2}}{8} \ln(x^2 - sqrt{2} x + 1) - frac{\sqrt{2} + 3}{2} \int frac{1}{(sqrt{2} x - 1)^2 + 1} dx =$
$= frac{3\sqrt{2}}{8} \ln(x^2 - sqrt{2} x + 1) - frac{\sqrt{2} + 3}{2\sqrt{2}} \int frac{1}{(sqrt{2} x - 1)^2 + 1} d(sqrt{2} x - 1)=$
$= frac{3\sqrt{2}}{8} \ln(x^2 - sqrt{2} x + 1) - frac{\sqrt{2} + 3}{2\sqrt{2}} \arctan(sqrt{2} x - 1) + c =$
$= frac{3\sqrt{2}}{8} \ln(x^2 - sqrt{2} x + 1) - frac{3\sqrt{2} + 2}{4} \arctan(sqrt{2} x - 1) + c$
Quindi in definitiva si ha:
$\int frac{x+3}{x^4+1} dx = frac{3\sqrt{2}}{8} \ln(x^2 + sqrt{2} x + 1) + frac{3\sqrt{2} - 2}{4} \arctan(sqrt{2} x + 1) - frac{3\sqrt{2}}{8} \ln(x^2 - sqrt{2} x + 1) + frac{3\sqrt{2} + 2}{4} \arctan(sqrt{2} x - 1) + c =$
$= frac{3\sqrt{2}}{8}[\ln(x^2 + sqrt{2} x + 1) - \ln(x^2 - sqrt{2} x + 1)] + frac{3\sqrt{2} - 2}{4}\arctan(sqrt{2} x + 1) + frac{3\sqrt{2} + 2}{4}\arctan(sqrt{2} x - 1) + c$
Passando ora al calcolo dell'integrale definito si ha:
$\int_{1}^{+\infty} frac{x+3}{x^4+1} dx = [frac{3\sqrt{2}}{8}\ln(frac{x^2 + sqrt{2} x + 1}{x^2 - sqrt{2} x + 1}) + frac{3\sqrt{2} - 2}{4}\arctan(sqrt{2} x + 1) + frac{3\sqrt{2} + 2}{4}\arctan(sqrt{2} x - 1)]_{1}^{+\infty} =$
$= frac{3\sqrt{2} - 2}{4}\cdot frac{\pi}{2} + frac{3\sqrt{2} + 2}{4}\cdot frac{\pi}{2} - frac{3\sqrt{2}}{8}\ln(frac{2 + sqrt{2}}{2 - sqrt{2}}) - frac{3\sqrt{2} - 2}{4}\arctan(sqrt{2} + 1) - frac{3\sqrt{2} + 2}{4}\arctan(sqrt{2} - 1)=$
$= frac{3\sqrt{2}}{4}\pi - frac{3\sqrt{2}}{8}\ln[frac{2(1 + sqrt{2}/2)}{2(1 - sqrt{2}/2)}] - frac{3\sqrt{2} - 2}{4}\cdot frac{3\pi}{8} - frac{3\sqrt{2} + 2}{4}\cdot frac{\pi}{8}=$
$= frac{3\sqrt{2}}{4}\pi - frac{3\sqrt{2}}{8}\ln[frac{(1 + 1/sqrt{2})}{(1 - 1/sqrt{2})}] - frac{9\sqrt{2}}{32}\pi + frac{3}{16}\pi - frac{3\sqrt{2}}{32}\pi - frac{\pi}{16}=$
$= frac{3\sqrt{2}}{4}\pi - frac{3\sqrt{2}}{8}[\ln(1 + 1/sqrt{2}) - \ln(1 - 1/sqrt{2})] -frac{3\sqrt{2}}{8}\pi + frac{1}{8}\pi =$
$= frac{3\sqrt{2}}{8}\pi - frac{3\sqrt{2}}{4}[frac{1}{2}\ln(1 + 1/sqrt{2}) - frac{1}{2}\ln(1 - 1/sqrt{2})] + frac{1}{8}\pi =$
$= frac{3\sqrt{2}}{8}\pi + frac{1}{8}\pi - frac{3\sqrt{2}}{4}\tanh^{-1}(1/sqrt{2}) = $
$ = frac{3\sqrt{2}}{8}\pi + frac{1}{8}\pi - frac{3\sqrt{2}}{4}\coth^{-1}(sqrt{2}) = $
$ = frac{1}{8}\{\pi + 3\sqrt{2}[\pi - 2\coth^{-1}(sqrt{2})]\} $
Diciamo che ne ho visti di più semplici...
Grazie per la tua risoluzione. Comunque anche la mia era corretta, sbagliavo uno stupido calcolo quando andavo a verificarla.
Si in effetti anche io ne ho visti di più semplici, però riguardandomi un pò di teoria ho capito che potevo utilizzare il confronto asintotico e capire semplicemente che convergeva.
Si in effetti anche io ne ho visti di più semplici, però riguardandomi un pò di teoria ho capito che potevo utilizzare il confronto asintotico e capire semplicemente che convergeva.
Prego. Da qui
avevo inteso che volessi risolverlo...
Se eri interessato solo alla convergenza potevi dirlo subito che ci si risparmiava un bel po' di conti...
"sirbasic":
Non riesco a risolverlo in nessuna maniera. Avete qualche suggerimento da darmi?
avevo inteso che volessi risolverlo...
"sirbasic":
riguardandomi un pò di teoria ho capito che potevo utilizzare il confronto asintotico e capire semplicemente che convergeva.
Se eri interessato solo alla convergenza potevi dirlo subito che ci si risparmiava un bel po' di conti...
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