Integrale improprio

[saffo1]

Devo dire se questo integrale converge ma ho un dubbio.
L'integrale è $ int_(1)^(infty) 1/(sqrt(x^3-1)) dx $
per x che tende a infinito l'integranda è asintotica a $ 1/x^(3/2) $ e converge.
Nel calcolare il $ lim_(x -> 1) 1/(sqrt(x^3-1 $ sostituisco $ t=x^3-1 $ e così ho $ lim_(t -> 0) 1/sqrtt $.Questo converge o diverge? O è proprio sbagliato sostituire t?

[pilloeffe]

Ciao saffo,

per convergere, converge. Considerato che $x^3 - 1 = x^3 - 1^3 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$, porre $t := x - 1$ potrebbe essere una buona idea per calcolarsi l'integrale indefinito (che però potrebbe anche non essere banale... ).

[saffo1]

Dato che li abbiamo appena fatti ci sono alcune cose che non mi sono chiare. Ad esempio, per dire se converge o no devo proprio calcolarmi tutto l'integrale indefinito oppure mi basta studiare il limite dell'integranda e fare un confronto asintotico?

[pilloeffe]

No, non devi calcolarti l'integrale indefinito, a meno che non ti venga esplicitamente richiesto a cosa converge l'integrale. Normalmente, basta vedere cosa succede nei punti critici ($1$ e $+\infty$ nel caso del tuo integrale), usare i confronti asintotici per determinare il comportamento della funzione integranda nei punti critici ed usare i ben noti criteri di convergenza degli integrali impropri. Nel tuo caso per esempio secondo me non ti viene richiesto a cosa converge l'integrale, perché vedo che converge ad un numero un po' "rognoso":

$int_(1)^(+infty) frac{1}{sqrt(x^3-1)} dx = frac{2 sqrt{\pi}\Gamma(frac{7}{6})}{\Gamma(frac{2}{3})} ~~ 2,42865$

ove $\Gamma(z) := int_{0}^{+infty} t^{z - 1}e^{-t} dt$ è la funzione gamma di Eulero.