Integrale improprio

[dilettabenedetti]

Avrei un dubbio su questo integrale con parametro:

$ \ int_ 1^infty sqrtx (1 - x^b sin (1/x^b)) dx $

è possibile che questo integrale diverga per qualunque b? Ho usato il confronto asintotico, però $ x^b $ mi si semplifica , quindi mi rimane $ sqrtx $

Ho sbagliato qualcosa nel ragionamento?

[gordnbrn]

$sqrtx(1-x^bsin(1/x^b))=1/6x^(1/2-2b)+o(x^(1/2-2b))$ per $x->+oo$.

[dilettabenedetti]

Non mi torna.. $ -x^b sin (1/x^b) $ dovrebbe comportarsi come $ -x^b (x^b - (1/6)x^(3b) ) $ no??

[gordnbrn]

"Pellegrini":
Non mi torna...

Strano. Se non riesci a comprendere quel semplice passaggio, temo che tu debba ripassarti un po' di teoria. Credo che tu stia facendo confusione con il concetto di infinitesimo e con gli sviluppi in serie. Il tuo ultimo messaggio palesa un grave errore di concetto.

P.S.
Ti ricordo che eventuali problemi di convergenza si hanno per $x->+oo$, mentre lo sviluppo che stiamo utilizzando prevede che l'argomento tenda a zero.

[dilettabenedetti]

D'accordo grazie

Posso chiederti per piacere se puoi esplicitarmi i passaggi? Così mi rendo conto del metodo giusto e delle mie mancanze.. Se non ti disturbo, grazie

[gordnbrn]

Volevo solo lasciarti un po' di tempo per pensarci:

$sqrtx(1-x^bsin(1/x^b))=sqrtx(1-x^b(1/x^b-1/6*1/x^(3b)+o(1/x^(3b))))=$

$=sqrtx(1-1+1/6*x^b/x^(3b)+o(x^b/x^(3b)))=$

$=sqrtx(1/6*x^(-2b)+o(x^(-2b)))=$

$=1/6x^(1/2-2b)+o(x^(1/2-2b))$ per $x->+oo$

P.S.
Quando utilizzi gli sviluppi in serie notevoli, tipicamente $x->0$. Gli stessi sviluppi possono essere utilizzati se al posto di $x$ sostituisci una generica $f(x)$, a patto che $f(x)->0$ quando $x->x_0$, oppure $x->-oo$, oppure $x->+oo$. Nel tuo caso, considerando $b>0$, $1/x^b->0$ quando $x->+oo$. Per questo motivo, sostituendo correttamente, possono essere utilizzati.

[dilettabenedetti]

Hai fatto benissimo a lasciarmi del tempo per pensarci, perchè in effetti alla fine avevo capito! Ecco, proprio perchè la funzione tendeva a zero allora avevo capito che potevo usarli.. Ma nel caso in cui x tenda a infinito (e la funzione vada a infinito), non potendomi valere degli sviluppi in serie, devo usare necessariamente il confronto asintotico. Ma come faccio a trovare una funzione con cui confrontarla?

[gordnbrn]

"Pellegrini":
Ma nel caso in cui x tenda a infinito (e la funzione vada a infinito)...

In questo caso la vedo dura che l'integrale possa convergere.