Integrale improprio

[andros1]

Devo vedere se è convergente e in caso affermativo calcolarne il valore
$\int_{0}^{+infty}( e^(-x/2))/(sqrt(e^x-e^(-x)) )dx$

[Sk_Anonymous]

Idee tue?

[andros1]

sostituzioni...ma non vado molto lontano...

[andros1]

"andros":Devo vedere se è convergente e in caso affermativo calcolarne il valore
$\int_{0}^{+infty}( e^(-x/2))/(sqrt(e^x-e^(-x)) )dx$

UP

[Brancaleone1]

Ciao andros. Come ben sai non possiamo aiutarti se non posti un tuo tentativo (o un'idea, ma devi provare a svolgerla qui, non ipotizzarla e basta): inoltre a molti utenti urta vedere un esercizio buttato lì con la richiesta di svolgerlo senza notare alcun impegno del richiedente.
Prova ad argomentare la tua richiesta aggiungendo il procedimento che hai adottato e il punto in cui ti blocchi, magari usando come linee guida le seguenti domande:

*Qual è il dominio dell'integranda?
*In quali intervalli essa è sicuramente integrabile?
*Quanto valgono i limiti agli estremi del dominio dell'integranda?

In questo modo potremo aiutarti a capire

[andros1]

per la convergenza posso dire che in un intorno di $+ infty $ la funzione converge a zero ,mentre $0$ non è dominio e per $x->0^+ $ vale $+infty$

[Brancaleone1]

Allora:
*Il dominio dell'integranda è $RR\\{0}$
*Visto il dominio, e considerando che essa è ivi continua perché composta da funzioni continue, l'integranda è sicuramente integrabile in $RR\\{0}$
*I limiti da considerare per questo integrale sono per $x->0^+$ e $x->+oo$ ed effettivamente valgono

$lim_(x->0^+) e^(-x/2)/sqrt(e^x-e^(-x)) = +oo$

$lim_(x->+oo) e^(-x/2)/sqrt(e^x-e^(-x)) = 0$

Per valutarne la convergenza puoi ricorrere allo studio dell'ordine col quale i limiti tendono a $+oo$ e $0$ (guarda qui).

[andros1]

io so che l' esponenziale a $+ infty $ e di ordine infinitamente grande e a $0$ e di ordine infinitamente piccolo, quindi in pratica ci dovrei essere ma come faccio a calcolare precisamente l' ordine e confrontarlo con 1?

[Brancaleone1]

Beh in questo caso per $x->0^+$ puoi impiegare McLaurin, mentre per $x->+oo$ hai la forma

$(0 text( di ordine exp))/(+oo text( di ordine < exp))=0 cdot 1/(+oo) = (0 text( di ordine exp)) cdot (0 text( di ordine < exp))= 0 text( di ordine > exp)$

In generale non è necessario calcolare precisamente l'ordine, basta capire se è "abbastanza maggiore o minore" di $1$.

[andros1]

E per il valore dell'integrale come posso fare?