Integrale improprio

[maria601]

Devo provare, senza calcolare l'integrale, che la funzione $ 1/x^2(cos(1/x))^3 $ è integrabile in $ [2/pi $oo$[ $, calcolare quindi tale integrale. Ho provato ad applicare qualche criterio di convergenza,ad esempio : la funzione è minore di $ 1/x^2 $, che forse è convergente ?

[ciampax]

Io lo scriverei in modo più semplice, per poter ragionare con maggiore prontezza: visto che l'integrale è
$$\int_{2/\pi}^+\infty \frac{1}{x^2}\cdot\cos^3\left(1/x)\right)\ dx$$
il cambiamento di variabile $t=1/x$ permette di riscriverlo come
$$\int_{\pi/2}^0 \cos^3 t\ (-dt)=\int_0^{\pi/2} \cos^3 t\ dt$$
che è ovviamente un integrale di Riemann. In ogni caso, se non vuoi procedere così, puoi osservare che l'unico punto problematico per la funzione è $x\to +\infty$, ma in tal caso abbiamo che
$$\cos^3(1/x)\sim \left(1-\frac{1}{2x^2}\right)^3\sim 1-\frac{3}{2x^2}$$
e pertanto la funzione risulta asintotica a $1/x^2$. Infine, ricordando che $\int_a^\infty f(x)\ dx$ risulta finito se $$f(x)\sim\frac{1}{x^\alpha},\qquad \alpha>1$$
ne ricavi la tua conclusione.

[maria601]

La sostituzione di variabile è chiara, ma gli altri passaggi non mi sono proprio chiari : hai fatto lo sviluppo in serie di Taylor,penso, ma il passaggio successivo non mi è chiaro. Inoltre deduco che se la funzione è equivalente ad $ 1/x^a $, con a>1, la funzione è integrabile.

[ciampax]

Se sviluppi il cubo di binomio, i primi due termini che ti restano sono quelli che ho scritto. Infine, quello che ho enunciato è un Teorema che dovresti conoscere, prima di affrontare l'integrazione impropria.