Integrale improprio
Ciao a tutti. Devo stabilire se questo integrale è convergente o meno.
$ \int_{0}^{+ \infty} 1/{e^{x+1/x}-e^x} dx$
Allora io ho fatto in questo modo:
1) Dominio della funzione integranda:
$Dom= R \ {0}$
2) Vedo il comportamento della funzione integranda in un intorno di $+ \infty$:
$e^{1/x} -1 ~ 1/x$ per $x \to + infty$
$1/{e^{x+1/x}-e^x} ~ x/e^x \to 0$ per $x \to + \infty$
3) Vedo il comportamento della funzione integranda in un intorno di $0$:
$1/{e^{x+1/x}-e^x} = 1/{e^{{x^2+1}/x}-e^x}$
Faccio gli sviluppi di Taylor dei termini al denominatore:
$e^{{x^2+1}/x}=1+{x^2+1}/x+ 1/2 (x^4+1+2x^2)$
$e^x=1+x+x^2/2$
Quindi ottengo che:
$e^{x+1/x}-e^x=1+ {x^2+1}/x +{x^4+1+2x^2}/2-1-x-x^2/2={2x+2x^2+2+x^5+x+2x^3-2x-2x^2-x^3}/{2x}$
Quindi:
$1/{e^{x+1/x}-e^x}={2x}/{2x+2x^2+2+x^5+x+2x^3-2x-2x^2-x^3}={2x}/{2+x^5+x+x^3} \to 0$ per $x \to 0$
Visto che nei due casi (cioè intorno di $+ \infty$ e intorno di $0$ )il limite della funzione integranda è uguale ad un numero appartenente ad $R$, posso dire che l'integrale è convergente? Oppure devo necessariamente "trasformare" l'integranda nella forma di un integrale improprio notevole?
O devo prima fare l'integrale di $x/e^x$ e di $1/2$ e passare al limite?
$ \int_{0}^{+ \infty} 1/{e^{x+1/x}-e^x} dx$
Allora io ho fatto in questo modo:
1) Dominio della funzione integranda:
$Dom= R \ {0}$
2) Vedo il comportamento della funzione integranda in un intorno di $+ \infty$:
$e^{1/x} -1 ~ 1/x$ per $x \to + infty$
$1/{e^{x+1/x}-e^x} ~ x/e^x \to 0$ per $x \to + \infty$
3) Vedo il comportamento della funzione integranda in un intorno di $0$:
$1/{e^{x+1/x}-e^x} = 1/{e^{{x^2+1}/x}-e^x}$
Faccio gli sviluppi di Taylor dei termini al denominatore:
$e^{{x^2+1}/x}=1+{x^2+1}/x+ 1/2 (x^4+1+2x^2)$
$e^x=1+x+x^2/2$
Quindi ottengo che:
$e^{x+1/x}-e^x=1+ {x^2+1}/x +{x^4+1+2x^2}/2-1-x-x^2/2={2x+2x^2+2+x^5+x+2x^3-2x-2x^2-x^3}/{2x}$
Quindi:
$1/{e^{x+1/x}-e^x}={2x}/{2x+2x^2+2+x^5+x+2x^3-2x-2x^2-x^3}={2x}/{2+x^5+x+x^3} \to 0$ per $x \to 0$
Visto che nei due casi (cioè intorno di $+ \infty$ e intorno di $0$ )il limite della funzione integranda è uguale ad un numero appartenente ad $R$, posso dire che l'integrale è convergente? Oppure devo necessariamente "trasformare" l'integranda nella forma di un integrale improprio notevole?
O devo prima fare l'integrale di $x/e^x$ e di $1/2$ e passare al limite?
Risposte
I due casi sono diversi.
Nel caso $x->0$ l'intervallo è limitato (nota, la funzione non tende a $1/2$) e quindi è sufficiente sapere che la funzione è limitata.
Nel caso $+oo$ bisogna fare delle considerazioni aggiuntive... (es. usare il teorema del confronto).
Nel caso $x->0$ l'intervallo è limitato (nota, la funzione non tende a $1/2$) e quindi è sufficiente sapere che la funzione è limitata.
Nel caso $+oo$ bisogna fare delle considerazioni aggiuntive... (es. usare il teorema del confronto).
Hai ragione, ho sbagliato: per $x \to 0$ la funzione tende a $0$ e non a $1/2$; avevo dimenticato il denominatore.
Per quanto riguarda il caso $x \to + \infty$, quali sarebbero le considerazioni aggiuntive da fare?
EDIT: Ma a questo punto non posso fare l'integrale di $x/e^x$ e poi passare al limite?
Per quanto riguarda il caso $x \to + \infty$, quali sarebbero le considerazioni aggiuntive da fare?
EDIT: Ma a questo punto non posso fare l'integrale di $x/e^x$ e poi passare al limite?
Mi sono bloccato. Se scrivo:
$x/e^x < 1/x$
è corretto?
Non riesco a venirne fuori.
$x/e^x < 1/x$
è corretto?
Non riesco a venirne fuori.
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