Integrale improprio

[Jek1]

Ciao a tutti ragazzi, ho dei problemi con questo esercizio.
Devo determinare i valori di $\alpha in R$ tale che la funzione $f(x)=\frac{1}{x^2} arctan(x^\alpha)$ risulti integrabile nell'intervallo $]0, +infty[$.
Ora se non sbaglio dovrei risolvere il seguente limite:
$lim_\{x \to +infty} \int_{0}^{x} \frac{1}{x^2} arctan(x^\alpha)dx $
Ho cominciato a risolvere il corrispondente integrale indefinito utilizzando il metodo di integrazione per parti ma poi mi blocco nel passaggio successivo.
$\int \frac{1}{x^2} arctan(x^\alpha)=-\frac{1}{x}arctan(x^\alpha)+\int \frac {1}{x(1+x^{2\alpha})}dx$
Vorrei sapere innanzitutto se secondo voi l'impostazione della risoluzione è corretta.
Vi ringrazio in anticipo ragazzi.

[21zuclo]

l'esercizio ti chiede solo per quali valori di $\alpha \in RR$ la funzione risulti integrabile su $(0,+\infty)$, non ti dice che devi calcolare l'integrale

io dividerei per casi

tipo per $\alpha=0$ viene che $\arctan(1)=\pi/4$ e quindi $\pi/4 \int_(0)^(+\infty)(1)/(x^2)dx$ CONVERGE

poi per $\alpha>0$ si ha che $\int_(0)^(+\infty)(\arctan(x^\alpha))/(x^2)\leq \int_(0)^(+\infty)(\pi/2)/(x^2)dx$ e CONVERGE

per invece $\alpha<0$ chiamo $\alpha=- b$

si ha che $\int_(0)^(+\infty) (\arctan((1)/(x^b)))/(x^2)$

lascio a te concludere!

almeno a me è venuta questa idea, visto che non ti dice di calcolare l'integrale per un determinato valore di $\alpha\in RR$

[Jek1]

Grazie mille per la risposta!! Effettivamente la soluzione riportata sul libro fa un discorso molto simile al tuo ma non capivo il perché...quindi quando mi trovo davanti a questa tipologia di problemi divido per casi a seconda che: $\alpha>0$, $\alpha <0$ o $\alpha =0$.
Ti ringrazio ancora!

[Brancaleone1]

Ciao a tutti, in particolare a 21zuclo

"21zuclo":
tipo per $\alpha=0$ viene che $\arctan(1)=\pi/4$ e quindi $\pi/4 \int_(0)^(+\infty)(1)/(x^2)dx$ CONVERGE

Attenzione, non è così Infatti

$int_0^(+oo) 1/(x^2)dx=[-1/x]_0^(+oo)=+oo$, cioé è DIVERGENTE.

Quindi per $alpha=0$ l'integrale non converge.

"21zuclo":poi per $\alpha>0$ si ha che $\int_(0)^(+\infty)(\arctan(x^\alpha))/(x^2)\leq \int_(0)^(+\infty)(\pi/2)/(x^2)dx$ e CONVERGE

Non è corretto Infatti studiando gli ordini di infinito e infinitesimo dei limiti dell'integranda, per $alpha>0$ si ottiene:

$lim_(x->0^+)1/(x^2) arctan(x^alpha)=(0 text( di ordine )alpha)/(0 text( di ordine 2))=$

$={ ( alpha=2=>lim_(x->0^+)->l in RR=>text(converge) ),( alpha>2=>lim_(x->0^+)->0=>text(converge) ),( alpha<2=> { ( 1lim_(x->0^+)->oo text( di ordine) <1 => text(converge)),( alpha<=1 =>lim_(x->0^+)->oo text( di ordine) >=1 => text(diverge)):} ):}$

e

$lim_(x->+oo)1/(x^2) arctan(x^alpha)=(pi/2)/(+oo text( di ordine 2))=0 text( di ordine 2, ) forall alpha=>text(converge)$

Quindi per $alpha$ positivo, solo per $alpha>1$ l'integrale CONVERGE, mentre per $0

"21zuclo":per invece $\alpha<0$ chiamo $\alpha=- b$

si ha che $\int_(0)^(+\infty) (\arctan((1)/(x^b)))/(x^2)$

Giusto Per $alpha<0$ si può porre $alpha=-beta$ con $beta>0$, e scrivere così

$int_0^(+oo) 1/(x^2) arctan(1/(x^beta))$

e studiando il limite $lim_(x->0^+)$ dell'integranda

$lim_(x->0^+)1/(x^2) arctan(1/(x^beta))=arctan(1/0^beta)/(0 text( di ordine 2)) = arctan((+oo)^beta)/(0 text( di ordine 2))=(pi/2)/(0 text( di ordine 2))=+oo text( di ordine 2)$

$=>text( diverge ) forall beta=> text( diverge ) forall alpha<0$

Calcolare il limite $lim_(x->+oo)$ non serve in quanto, anche nel caso si trovi una convergenza all'infinito, l'integrale comunque non converge in $0$.

Saluti

[21zuclo]

"Brancaleone":Ciao a tutti, in particolare a 21zuclo
[quote="21zuclo"]
tipo per $\alpha=0$ viene che $\arctan(1)=\pi/4$ e quindi $\pi/4 \int_(0)^(+\infty)(1)/(x^2)dx$ CONVERGE

Attenzione, non è così Infatti

$int_0^(+oo) 1/(x^2)dx=[-1/x]_0^(+oo)=+oo$, cioé è DIVERGENTE.

Quindi per $alpha=0$ l'integrale non converge.
[/quote]

è verissimo! Hai perfettamente ragione!.. chiedo scusa per l'errore che ho commesso!..

mentre poi si nell'altro caso, cioè per $\alpha>0$ dovevo dividere i casi e fare per $x\to 0$ i vari casi ancora

Chiedo scusa comunque per gli errori!..

avevo risposto all'1.49 del mattino, mentre stavo pure studiando le derivate parziali di funzioni in 2 variabili!..

Chiedo ancora scusa per gli errori commessi!

[Brancaleone1]

Tranquillo
Capisco benissimo che rispondere a un'ora così tarda possa condurre in errore.
Ammiro comunque la forza di volontà nel rispondere a quell'ora avendo per le mani un altro problema di analisi