Integrale improprio

[lallir]

Salve a tutti,
Avrei bisogno di una spiegazione:
L'integrale improprio [tex]\int_{2}^{+\infty } \frac{1}{(x\log x)}dx[/tex] diverge poichè la funzione integranda è asintotica a [tex]\frac{1}{x}[/tex].
Perchè invece l'integrale [tex]\int_{2}^{+\infty } \frac{1}{x(\log x)^{2}}dx[/tex] converge pur essendo, correggetemi se sbaglio, la funzione integranda sempre asintotica a [tex]\frac{1}{x}[/tex] ?

Grazie

[Noisemaker]

perchè la funzione integranda nel secondo caso va a zero di ordine $>1$

[Rigel1]

"lallir":L'integrale improprio [tex]\int_{2}^{+\infty } \frac{1}{(x\log x)}dx[/tex] diverge poichè la funzione integranda è asintotica a [tex]\frac{1}{x}[/tex].

No; la funzione è asintotica a \(1/(x \log x)\).

Perchè invece l'integrale [tex]\int_{2}^{+\infty } \frac{1}{x(\log x)^{2}}dx[/tex] converge pur essendo, correggetemi se sbaglio, la funzione integranda sempre asintotica a [tex]\frac{1}{x}[/tex] ?

In questo caso la funzione è asintotica a \(1/(x \log^2 x)\).

E' vero che \(\log x\) è un infinito trascurabile rispetto a \(x\) (per \(x\to +\infty\)), ma questo ti dice solo che, ad esempio,
\[
\frac{1}{x+\log x} \sim \frac{1}{x}
\]
ma non che
\[
\frac{1}{x\log x} \sim \frac{1}{x}.\qquad \textbf{(Sbagliato!)}
\]
(Basta usare la definizione di asintotico per verificarlo.)

[Noisemaker]

infatti
\begin{align}
\int_{2}^{+\infty}\frac{1}{x\ln^2x}\,\,dx&=\int_{2}^{+\infty}\frac{1}{ \ln^2x}\,\,d\left(\ln x\right)\stackrel{\ln x=t}{=}\int_{2}^{+\infty}\frac{1}{ t^2 }\,\,dt=\left[-\frac{1}{t}\right]_{2}^{+\infty}\\
&=\left[-\frac{1}{\ln x}\right]_{2}^{+\infty}=\lim_{k\to +\infty}-\frac{1}{\ln k}+\frac{1}{\ln 2}=\frac{1}{\ln 2}
\end{align}

Edit: Scusa Rigel stavo scrivendo in contemporanea!

[lallir]

Grazie mille ho fatto proprio un errore stupido!