Integrale improprio
Ho questo integrale improprio che non riesco a risolvere!!
Devo capire per quali \(\displaystyle \alpha \) l'integrale (tra \(\displaystyle 2 \) e \(\displaystyle +\infty \)converge:
\(\displaystyle \int (t^{\alpha})(1+t^4)^\alpha \)
Bisogna fare il limite dell'integrale tra \(\displaystyle 2 \) e \(\displaystyle x \)
\(\displaystyle lim (x-> +\infty) \) \(\displaystyle \int (t^{\alpha})(1+t^4)^\alpha \)
Ma non riesco a risolvere l'integrale...chi mi aiuta?
Devo capire per quali \(\displaystyle \alpha \) l'integrale (tra \(\displaystyle 2 \) e \(\displaystyle +\infty \)converge:
\(\displaystyle \int (t^{\alpha})(1+t^4)^\alpha \)
Bisogna fare il limite dell'integrale tra \(\displaystyle 2 \) e \(\displaystyle x \)
\(\displaystyle lim (x-> +\infty) \) \(\displaystyle \int (t^{\alpha})(1+t^4)^\alpha \)
Ma non riesco a risolvere l'integrale...chi mi aiuta?
Risposte
non devi cercare di risolvere l'integrale, cioè calcolare la primitiva (magari è anche fattibile); devi cercare di stabilire per quali valori del paramentro l'integrale converge o meno; allora la prima cosa da fare è vedere dove la funzione integranda è definita: allora hai che se $\alpha>0$, la funzione è definita in tutto $\RR$ e dunque l'integrale riuslta improprio a $+\infty$; se $\alpha<0$ la funzione integranda risulta definita per tutti gli $x\in \RR\ne0:$ tuttavia dovendo calcolare l'integrale nell'intervallo $ [2,+\infty},$ risulterà improprio solo a $+\infty$ osserva che la funzione, indipendentemente da parametro, risulta sempre positiva, in quell'intervallo di integrazione, e dunque è possibile applicare il criterio del confronto asintotico; allora hai che:
quando $x \to +\infty$
\begin{align}
x^{\alpha}(1+x^4)^{\alpha}\sim\begin{cases}\mbox {se } \alpha >0,& x^{\alpha}\cdot x^{4\alpha}=x^{5\alpha},\quad\mbox{non converge}\\
\mbox {se } \alpha <0,& \frac{1}{x^{\alpha}}\cdot \frac{1}{x^{4\alpha}}=\frac{1}{x^{5\alpha}},\quad\mbox{ converge se }\quad-5\alpha>1, \alpha<-\frac{1}{5}\end{cases}
\end{align}
quando $x \to +\infty$
\begin{align}
x^{\alpha}(1+x^4)^{\alpha}\sim\begin{cases}\mbox {se } \alpha >0,& x^{\alpha}\cdot x^{4\alpha}=x^{5\alpha},\quad\mbox{non converge}\\
\mbox {se } \alpha <0,& \frac{1}{x^{\alpha}}\cdot \frac{1}{x^{4\alpha}}=\frac{1}{x^{5\alpha}},\quad\mbox{ converge se }\quad-5\alpha>1, \alpha<-\frac{1}{5}\end{cases}
\end{align}
Perchè \(\displaystyle 5\alpha \) deve essere \(\displaystyle >1 \)?
Ma se presupponevo che \(\displaystyle \alpha<0 \) ha senso dire \(\displaystyle 5\alpha>1 \)?
Ma se presupponevo che \(\displaystyle \alpha<0 \) ha senso dire \(\displaystyle 5\alpha>1 \)?
forse mi sono espresso un pò male: se $\alpha$ è negativo l'integranda diventa uguale a $1/x^{5\alpha}$ e adesso $\alpha>0$, quindi converge se l'integranda è nella forma $1/x^{5\alpha}$ con $\alpha<-1/5$
Mmmm il risultato del libro è \(\displaystyle \alpha<- \frac{1}{5} \)
Ma in ogni caso, perchè dev'essere \(\displaystyle >1 \)? Che sia \(\displaystyle \frac{1}{x^{5}} \) o \(\displaystyle \frac{1}{x^{10}} \) fa sempre 0 no?
(A giusto!!!! )
Ma in ogni caso, perchè dev'essere \(\displaystyle >1 \)? Che sia \(\displaystyle \frac{1}{x^{5}} \) o \(\displaystyle \frac{1}{x^{10}} \) fa sempre 0 no?
(A giusto!!!! )
si la condizione di convergenza all'infinito è prorpio che $1/x^\beta$ converga per $\beta>1$
Perfetto, grazie 1000!!! 
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