Integrale improprio

[dragonspirit1]

salve volevo sapere se cesiste un modo per calcolare il limite di questo integrale: con x>0
\[ \int_0^{2x} (t-\sqrt t )/(t+1)\ \text{d}x \]

avevo pensato ad applicare il teorema del confronto e vedere intento se l'integrale impropio era convergente ma non essendo un infinitesimo la funzione integranda non è possibile, con il metodo della media integrale non si sa nulla su \(\gamma\) perche è compreso tra 0 e xtendente ad infinito quindi non è detto k tenda ad infinito.
Avevo pensato , dato che la funzione all'infinito tende a stabilizzarsi ad uno l?area sottesa alla funzione certamente non può essere finita ma non sò come formalizzare questo concetto

[Noisemaker]

prova con il teorema fondamentale del calcolo integrale, e poi con la regola di De L'hopital

[dragonspirit1]

mmm come? cioè con che valore devo sostituire la t e poi su cosa applico de l'hopital se non ho denominatore?

[Noisemaker]

poi , limite che tende a cosa?

[dragonspirit1]

x tendente ad infinito

[Noisemaker]

scusami ho letto di fretta e la frazione non l'ho vista dentro il segno di integrale; in questo caso puoi calcolarti la primitiva ...

\begin{align*}
\lim_{x\to+\infty}\int_{0}^{2x} \frac{t-\sqrt t}{t+1 }\,\,dt&\lim_{x\to+\infty}=\int_{0}^{2x} \frac{t }{t+1 }- \frac{ \sqrt t}{t+1 }\,\,dt\\
&=\lim_{x\to+\infty}\left[t-\ln |t+1|\right]_{0}^{2x} - \int\frac{ \sqrt t}{t+1 }\,\,dt\\
&\stackrel{\sqrt t=y}{=}\lim_{x\to+\infty}\left[t-\ln |t+1|\right]_{0}^{2x} - 2\int\frac{y^2}{y^2+1 }\,\,dt=\left[t-\ln |t+1|\right]_{0}^{2x} - 2 \left[\sqrt t-\arctan \sqrt t\right]_{0}^{2x}\\
&=\lim_{x\to+\infty}2x-\ln |2x+1|-2\sqrt {2x} +2\arctan \sqrt {2x}\to+\infty
\end{align*}

[dragonspirit1]

è l'unica è svolgere l'integrale..........speravo ci fosse qualche altro metodo: il riterio dell'ordine di infinito o infinitesimo non è applicabile in questi casi giusto?
Il mio libro di testo fa un mucchio di giri e da molto , anche troppo per scontato certe cose nelle spiegazioni purtroppo

[dragonspirit1]

se non ti è troppo disturbo posso caricare un esercizio (come immagine)? estratto dal mio libro perchè fa delle posizioni alquanto dubbiose

[Noisemaker]

vai!

[gugo82]

"dragonspirit":salve volevo sapere se cesiste un modo per calcolare il limite di questo integrale: con x>0
\[ \int_0^{2x} \frac{t-\sqrt{t}}{t+1}\ \text{d}t \]

La funzione integranda è positiva intorno a \(+\infty\) ed ha limite \(=1\) per \(x\to +\infty\); dunque la funzione assegnata ha certamente limite \(=+\infty\) per \(x\to +\infty\).

Infatti, detta \(f(t)\) la funzione integranda, per la stessa definizione di limite in corrispondenza di \(\varepsilon =1/2\) esiste un numero \(M\geq 0\) sufficientemente grande tale che:
\[
\forall t\geq M,\quad |f(t)-1|\leq \frac{1}{2} \quad \Leftrightarrow -\frac{1}{2}\leq f(t) -1\leq \frac{1}{2}
\]
e quindi, in particolare, si ha:
\[
\forall t\geq M,\quad f(t)\geq 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\; .
\]
Allora per \(x\geq M/2\) si ha \(2x\geq M\) e perciò:
\[
\begin{split}
\int_0^{2x} f(t)\ \text{d} t &= \int_0^M f(t)\ \text{d} t +\int_M^{2x} \underbrace{f(t)}_{\geq \frac{1}{2}}\ \text{d} t \\
&\geq \int_0^M f(t)\ \text{d} t + \int_M^{2x} \frac{1}{2}\ \text{d} t \\
&= \int_0^M f(t)\ \text{d} t + \frac{1}{2}\ (2x-M)\\
&= x+ \underbrace{\int_0^M f(t)\ \text{d} t + \frac{M}{2}}_{=:C}
\end{split}
\]
e dunque:
\[
\lim_{x\to +\infty} \int_0^{2x} f(t)\ \text{d} t \geq \lim_{x\to +\infty} x+ C =+\infty\; .
\]

[dragonspirit1]

non riesco a capire come fa ad aver posto k in quel modo è come faccia ad essere la prima parte dell'integrale zero....ma soprattutto "L'Avendosi" finale

[dragonspirit1]

[dragonspirit1]

"gugo82":(\begin{split} \int_0^{2x} f(t)\ \text{d} t &= \int_0^M f(t)\ \text{d} t +\int_M^{2x} f(t)\ \text{d} t \\ &\geq \int_0^M f(t)\ \text{d} t + \int_M^{2x} \frac{1}{2}\ \text{d} t \\ &= \int_0^M f(t)\ \text{d} t + \frac{1}{2}\ (2x-M)\\ &= x+ \underbrace{\int_0^M f(t)\ \text{d} t + \frac{M}{2}}_{=:C} \end{split})\

scusa qui cosa hai fatto?
\[ \int_M^{2x} f(t)\ \text{d} t =\int_M^{2x} \frac{1}{2}\ \text{d} t \]

[gugo82]

Ho minorato usando la disuguaglianza che vien fuori dalla definizione di limite.
Tra l'altro, ho anche editato il post precedente: forse ora si capisce meglio.

[dragonspirit1]

"gugo82":Ho minorato usando la disuguaglianza che vien fuori dalla definizione di limite.
Tra l'altro, ho anche editato il post precedente: forse ora si capisce meglio.

si scusa non avevo visto il simbolo di disuguaglianza:) ma come posso fare a determinare se un integrale improprio converge diverge ecc ecc se la funzione al suo interno non è un infinitesimo per uno degli estremi?
ad esempio \[\lim_{x\to+\infty} \int_0^x \frac{e^t-1}{\sqrt{t}} \text{dt} \ \]

sapendo che la funzione all'interno è un infinito non un infinitesimo i calcolo dell'ordine di infinitesimo non è possibile farlo.
Il mo libro dice che è possibile considerare l'ordine di infinito se all'estremo(di integrazione ) vi è un "b" tale per cui la funzione all'interno è un infinito ma non riesco a capire se è applicabile al mio caso dato che è l'estremo stesso che tende a infinito...
qualora fosse possibile si vede subito che Ord(di infinito) (f(x)) = soprareale dunque non è integrabile in senso improrpio e l'integrale è divergente.

oppure posso applicare la definizione di integrale come hai fatto prima?

\[\forall M\geq 0, \text {ESISTE } K>0 \quad |f(t)|>K \]
quindi
\[ \begin{split} \int_0^{x} f(t)\ \text{d} t &= \int_0^M f(t)\ \text{d} t +\int_M^{x} \underbrace{f(t)}_{\geq K}\ \text{d} t \\ &\geq \int_0^M f(t)\ \text{d} t + \int_M^{x} K \text{d} t \\ &= \int_0^M f(t)\ \text{d} t + K (x-M)\\ &= x+ \underbrace{\int_0^M f(t)\ \text{d} t - MK}_{=:C} \end{split} \]

spero di aver capito giusto