Integrale impropio

[dany80-votailprof]

Ciao a tutti, ho 2 piccoli problemini, uno che dopo 10 anni ho ripreso analisi 1 e l'altro questo integrale da 1 $int_{0}( logx/x^\a)$ in pratica l'esercizio chiede di calcolare per quale parametro $\a>0$ esiste finito e calcolarlo limitatamente ai valori trovati. Non so bene cosa voglia però ho fatto un tentativo: ho integrato per parti considerando due funzioni $logx$ e $1/x^a$ trovando così una formula generale della primitiva valida per tutti gli a> 1 e mi è venuta così :
$1/(1-a) x^(1-a) *logx - 1/(1-a) x^(1-a)$
passando al limite per F(1) non esiste problema il tutto si riduce in $1/(1-a)$ ,mentre per F(0) cominciano i problemi $logx$ tende a -∞ e $1/x^(1-a)$ a infinito il termine $logx/x^(1-a) $ tende a zero(limite notevole) ma mi resta $1/(1-a) 1/x^(1-a)$ che tende a infinito per qualsiasi valore di a per cui non mi viene mai finito. penso propio di aver sbagliato tutto.... grazie per ogni aiuto

[Lord K]

"dany80":Ciao a tutti, ho 2 piccoli problemini, uno che dopo 10 anni ho ripreso analisi 1 e l'altro questo integrale da 1 $int_{0}( logx/x^\a)$ in pratica l'esercizio chiede di calcolare per quale parametro $\a>0$ esiste finito e calcolarlo limitatamente ai valori trovati. Non so bene cosa voglia però ho fatto un tentativo: ho integrato per parti considerando due funzioni $logx$ e $1/x^a$ trovando così una formula generale della primitiva valida per tutti gli a> 1 e mi è venuta così :
$1/(1-a) x^(1-a) *logx - 1/(1-a) x^(1-a)$
passando al limite per F(1) non esiste problema il tutto si riduce in $1/(1-a)$ ,mentre per F(0) cominciano i problemi $logx$ tende a -∞ e $1/x^(1-a)$ a infinito il termine $logx/x^(1-a) $ tende a zero(limite notevole) ma mi resta $1/(1-a) 1/x^(1-a)$ che tende a infinito per qualsiasi valore di a per cui non mi viene mai finito. penso propio di aver sbagliato tutto.... grazie per ogni aiuto

Da:

$1/(1-a) x^(1-a) *logx - 1/(1-a) x^(1-a) = x^(1-a)/(1-a)*[logx - 1]$

Se fai:

$lim_(x \to 0) x^(1-a)/(1-a)*[logx - 1] =1/(1-a)*lim_(x \to 0) [logx - 1]/x^(a-1) =[text{Hopital}]= 1/(1-a)*lim_(x \to 0) [1/x]/((a-1)*x^(a-2)) = 1/(1-a)*lim_(x \to 0) 1/((a-1)*x^(a-1)) = {(+oo text{ a>=1}),(0 text{ a<1}):}$

[dany80-votailprof]

"Lord K":

Da:

$1/(1-a) x^(1-a) *logx - 1/(1-a) x^(1-a) = x^(1-a)/(1-a)*[logx - 1]$

Se fai:

$lim_(x \to 0) x^(1-a)/(1-a)*[logx - 1] =1/(1-a)*lim_(x \to 0) [logx - 1]/x^(a-1) =[text{Hopital}]= 1/(1-a)*lim_(x \to 0) [1/x]/((a-1)*x^(a-2)) = 1/(1-a)*lim_(x \to 0) 1/((a-1)*x^(a-1)) = {(+oo text{ a>=1}),(0 text{ a<1}):}$

grazie per l'aiuto comunque non mi è ancora chiara qualcosina , anche perchè il prof. riporta che a deve essere strettamente maggiore di 0 per cui il caso a =0 l'ho escluso, secondo la forma da me trovata per avere senso dobbiamo pure escludere il caso a=1 anche perchè in quel caso l'integrale cambierebbe forma, ovvero $1/2 (logx)^2$, percio' sappiamo che valori a non può avere.
però non avevo pensato a de l'Hopital, mi lascia perplesso il fatto che non sia stato specificato se a appartiene a N o a R, perciò per te le soluzioni sono da trovarsi per a>0 e <1, per esempio $1/2$ se ipotizziamo che a appartenga a R. Sei un grande allora non avevo sbagliato tutto mi sono solo perso in un bicchiere d'acqua. grazie tante

[Lord K]

Sei tu che hai fatto il tutto!