Integrale imporprio su untervallo illimitato
ho questo integrale:
[tex]\int_{1}^{\infty} \frac{4-sinx}{\sqrt[3]{(arctanx)^{2}}(5+2x)^{2}} dx[/tex]
devo calcolare se esiste finito.
credo che risulti utile utilizzare il criterio de confronto (che non è mai stato il mio forte), ma con cosa potrei confrontare questa funzione?
[tex]\int_{1}^{\infty} \frac{4-sinx}{\sqrt[3]{(arctanx)^{2}}(5+2x)^{2}} dx[/tex]
devo calcolare se esiste finito.
credo che risulti utile utilizzare il criterio de confronto (che non è mai stato il mio forte), ma con cosa potrei confrontare questa funzione?
Risposte
Puoi usare il fatto che
[tex]\displaystyle \arctan x\geq\arctan 1=\pi/4,\ \textrm{ se }x\geq 1[/tex]
[tex]\displaystyle |4-\sin x|\leq 5[/tex].
[tex]\displaystyle \arctan x\geq\arctan 1=\pi/4,\ \textrm{ se }x\geq 1[/tex]
[tex]\displaystyle |4-\sin x|\leq 5[/tex].
aspetta aspetta, voglio capire il ragionamento che c'è dietro.
perche proprio arctan 1?
poi come combino le due cose insieme?
perche proprio arctan 1?
poi come combino le due cose insieme?
Puoi anche vederla così, se già conosci il criterio del confronto asintotico.
Comincia a guardare l'integrando: nota che è sempre positivo nell'intervallo di integrazione (perchè? Ti invito a rispondere). Allora, possiamo applicare i criteri del confronto.
Allora, l'integrando a che cosa è equivalente a $+oo$?
Ragiona così:
$(4-sinx)/(root(3)((arctgx)^2)(5+2x)^2) " " sim_(+oo) " " (4-sinx)/(root(3)((pi/2)^2)(4x^2))$
perchè a $+oo$ l'arcotangente va a $pi/2$ e sempre a $+oo$ il termine dominante della parentesi è quello con il grado più elevato ($4x^2$).
Ora puoi applicare il criterio del confronto di cui parlava anche l'amico cirasa, maggiorando il seno:
$(4-sinx)/(root(3)((pi/2)^2)(4x^2))<= 5/(root(3)((pi/2)^2)(4x^2))= c/x^2$
Lascio a te le considerazioni conclusive del caso (siamo alla fine, praticamente).
Chiaro?
Comincia a guardare l'integrando: nota che è sempre positivo nell'intervallo di integrazione (perchè? Ti invito a rispondere). Allora, possiamo applicare i criteri del confronto.
Allora, l'integrando a che cosa è equivalente a $+oo$?
Ragiona così:
$(4-sinx)/(root(3)((arctgx)^2)(5+2x)^2) " " sim_(+oo) " " (4-sinx)/(root(3)((pi/2)^2)(4x^2))$
perchè a $+oo$ l'arcotangente va a $pi/2$ e sempre a $+oo$ il termine dominante della parentesi è quello con il grado più elevato ($4x^2$).
Ora puoi applicare il criterio del confronto di cui parlava anche l'amico cirasa, maggiorando il seno:
$(4-sinx)/(root(3)((pi/2)^2)(4x^2))<= 5/(root(3)((pi/2)^2)(4x^2))= c/x^2$
Lascio a te le considerazioni conclusive del caso (siamo alla fine, praticamente).
Chiaro?
nota che è sempre positivo nell'intervallo di integrazione (perchè? Ti invito a rispondere).
vediamo se la trigonometrie mi è amica.
il seno varia tra 1 e -1, quindi il numeratore oscilla tra 3 e 5, l'arcotangente è positivo per valori >0 e il quadrato di quantità positive è positivo.
una volta maggiorata la funzione posso semplificare i denominatori e risolvere 4-sinx<=5??
[/quote]
"giozh":
il seno varia tra 1 e -1, quindi il numeratore oscilla tra 3 e 5, l'arcotangente è positivo per valori >0 e il quadrato di quantità positive è positivo.
Ottimo.
una volta maggiorata la funzione posso semplificare i denominatori e risolvere 4-sinx<=5??
Non ti ho capito.
Ti faccio notare che quella disuguaglianza è vera $forall x in RR$ (è proprio per quello abbiamo maggiorato).
Ora non ti resta che concludere: il tuo integrale si comporta come $1/x^2$ per il criterio del confronto e per il criterio del confronto asintotico.
Ma che cosa fa tra $1$ e $+oo$ l'integrale di $1/x^2$?
il tuo integrale si comporta come 1/x^2 per il criterio del confronto e per il criterio del confronto asintotico.
sto cercando di capire come da quel cumulo di roba si arriva a 1/x^2 (che l'integrale di 1/x^2 tra 1 e +inf converge) !
"giozh":il tuo integrale si comporta come 1/x^2 per il criterio del confronto e per il criterio del confronto asintotico.
sto cercando di capire come da quel cumulo di roba si arriva a 1/x^2 (che l'integrale di 1/x^2 tra 1 e +inf converge) !
Esatto, per cui concludi che anche il tuo converge.
Spero tu capisca quel "cumulo" di roba, perchè molto spesso si procede in quel modo lavorando con gli integrali impropri.
Se hai dubbi, comunque, posta pure.
mi puoi dare un input per capire come sei arrivato da quella formula a scrivere che la parte destra della disequazione= i/x^2??
"giozh":
mi puoi dare un input per capire come sei arrivato da quella formula a scrivere che la parte destra della disequazione= i/x^2??
Non capisco che cosa vuoi dire.
Sforzati di esprimerti meglio e ad usare il mathml o il tex, per piacere.
Grazie.
"Paolo90":
$(4-sinx)/(root(3)((pi/2)^2)(4x^2))<= 5/(root(3)((pi/2)^2)(4x^2))= c/x^2$
scusa se non sono stato chiaro, stavo studiando e andavo un pò di corsa. comunque non ho capito come mai hai scritto questo:
$5/(root(3)((pi/2)^2)(4x^2))= c/x^2$
grazie
"giozh":
[quote="Paolo90"]
$(4-sinx)/(root(3)((pi/2)^2)(4x^2))<= 5/(root(3)((pi/2)^2)(4x^2))= c/x^2$
scusa se non sono stato chiaro, stavo studiando e andavo un pò di corsa. comunque non ho capito come mai hai scritto questo:
$5/(root(3)((pi/2)^2)(4x^2))= c/x^2$
grazie[/quote]Oh scusa, non ho precisato più di tanto. $c$ indica una generica costante reale; in questo caso, ho deciso di battezzare $5/(root(3)((pi/2)^2))=c$.
Più chiaro ora?
P.S. Tieni conto che le costanti contano poco negli integrali: le puoi portare fuori e dentro il segno di integrale, per cui non cambia molto. Chiaro?
ah!!! quindi basta che riesco a mettere a denominatore un qualcosa che contenge una x^qualcosa ed il gioco è fatto?
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