Integrale: hermite o fratti semplici?
ciao, devo risolvere questo integrale:
$ int(1)/((x-1)^3x^2) $
ho provato a risolverlo con i fratti semplici ma, dopo aver fatto tutti i calcoli non riesco a determinare tutte le costanti.
solo dopo mi sono accorta che ho 5 equazioni e 9 incognite il che rende impossibile determinare le costanti!
ho pensato, allora, che va risolto con la formula di Hermite... ho pensato bene?
c'è un modo per capirlo senza fare prima tutti i calcoli?
$ int(1)/((x-1)^3x^2) $
ho provato a risolverlo con i fratti semplici ma, dopo aver fatto tutti i calcoli non riesco a determinare tutte le costanti.
solo dopo mi sono accorta che ho 5 equazioni e 9 incognite il che rende impossibile determinare le costanti!
ho pensato, allora, che va risolto con la formula di Hermite... ho pensato bene?
c'è un modo per capirlo senza fare prima tutti i calcoli?
Risposte
Puoi risolverlo coi fratti semplici scomponendo in questo modo : $ A/x+B/x^2 +C/(x-1)+D/(x-1)^2+E/(x-1)^3 $ .
Oppure con una piccola sostituzione:
$ int(1)/((x-1)^3x^2) dx $
$1/(x - 1) = t$; esplicitando $x$ : $ x = (1 + t )/t$
$- 1/(x - 1)^2 dx = dt$
Per sostituzione trovi: $ int 1/(x-1) * 1/x^2 * 1/(x-1)^2 dx = int t^3/(1 + t)^2 * ( - dt)$
Dividendo: $t^3/(1 + t)^2 = t^3/(t^2 + 2t + 1 ) = ( t - 2 ) + (3 t + 2 )/(t^2 + 2t + 1)$
Che è molto più semplice da integrare.
$ int(1)/((x-1)^3x^2) dx $
$1/(x - 1) = t$; esplicitando $x$ : $ x = (1 + t )/t$
$- 1/(x - 1)^2 dx = dt$
Per sostituzione trovi: $ int 1/(x-1) * 1/x^2 * 1/(x-1)^2 dx = int t^3/(1 + t)^2 * ( - dt)$
Dividendo: $t^3/(1 + t)^2 = t^3/(t^2 + 2t + 1 ) = ( t - 2 ) + (3 t + 2 )/(t^2 + 2t + 1)$
Che è molto più semplice da integrare.
riguardo i fratti semplici, non devo avere il numeratore che sia un grado meno del denominatore?
io ho provato a risolverlo come
$A/x+(Bx+C)/x^2+D/(x-1)+(Ex+F)/(x-1)^2+(Gx^2+Hx+I)/(x-1)^3$
e ottengo il sistema che non riesco a risolvere.
ora provo a risolverlo per sostituzione. grazie!
io ho provato a risolverlo come
$A/x+(Bx+C)/x^2+D/(x-1)+(Ex+F)/(x-1)^2+(Gx^2+Hx+I)/(x-1)^3$
e ottengo il sistema che non riesco a risolvere.
ora provo a risolverlo per sostituzione. grazie!
E comunque, se non ricordo male, il sistema dei coefficienti nella scomposizione in fratti semplici non può essere indeterminato...
Se il denominatore della funzione integranda -polinomiale- ha radici reali di molteplicità $m $ non devi mettere a numeratore i termini fino al grado $m-1$ ma solo quelli di grado $ 0 $.
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