Integrale generalizzato per parti con esponenziale

[Mimmo931]

Si può risolvere questo integrale senza integrare due volte per parti? C'è qualche trucco?

[pilloeffe]

Ciao Mimmo93,

In realtà l'unico integrale generalizzato è il secondo e per risolverlo è sufficiente una integrazione per parti, per far diventare $0$ il grado di $r_2 $, e si ha:

$ int e^{- frac{4r_2}{a}} r_2 dr_2 = - a/16 e^{- frac{4r_2}{a}} (a + 4r_2) + c $

da cui si ottiene

$ int_{r_1}^{+\infty} e^{- frac{4r_2}{a}} r_2 dr_2 = [- a/16 e^{- frac{4r_2}{a}} (a + 4r_2)]_{r_1}^{+\infty} = a/16 e^{- frac{4r_1}{a}} (a + 4r_1) $

Invece per risolvere il primo integrale occorre integrare due volte per parti, sempre per far diventare $0$ il grado di $r_2 $, e si ha:

$ int e^{- frac{4r_2}{a}} r_2^2 dr_2 = - a/32 e^{- frac{4r_2}{a}} (a^2 + 4ar_2 + 8 r_2^2) + c $

da cui si ottiene

$ int_{0}^{r_1} e^{- frac{4r_2}{a}} r_2^2 dr_2 = [- a/32 e^{- frac{4r_2}{a}} (a^2 + 4ar_2 + 8 r_2^2)]_{0}^{r_1} = - a/32 e^{- frac{4r_1}{a}} (a^2 + 4ar_1 + 8r_1^2) + a^3/32 $

Perciò si ha:

$ I_2 = 4\pi(1/r_1 int_{0}^{r_1} e^{- frac{4r_2}{a}} r_2^2 dr_2 + int_{r_1}^{+\infty} e^{- frac{4r_2}{a}} r_2 dr_2) = frac{4\pi}{r_1}(int_{0}^{r_1} e^{- frac{4r_2}{a}} r_2^2 dr_2 + r_1 int_{r_1}^{+\infty} e^{- frac{4r_2}{a}} r_2 dr_2) = $
$ = frac{4\pi}{r_1}[- a/32 e^{- frac{4r_1}{a}} (a^2 + 4ar_1 + 8r_1^2) + a^3/32 + a/16 e^{- frac{4r_1}{a}} (ar_1 + 4r_1^2)] = $
$ = frac{\pi}{8r_1}[- a e^{- frac{4r_1}{a}} (a^2 + 4ar_1 + 8r_1^2) + a^3 + 2a e^{- frac{4r_1}{a}} (ar_1 + 4r_1^2)] = $
$ = frac{\pi a^3}{8r_1}[- e^{- frac{4r_1}{a}} (1 + frac{4r_1}{a} + frac{8r_1^2}{a^2}) + 1 + 2e^{- frac{4r_1}{a}} (r_1/a + frac{4r_1^2}{a^2})] = $
$ = frac{\pi a^3}{8r_1}[1 - (1 + frac{2r_1}{a})e^{- frac{4r_1}{a}}] $

"Mimmo93": Si può risolvere questo integrale senza integrare due volte per parti? C'è qualche trucco?

Sì, il trucco c'è, ma non so se è molto più semplice e consiste nell'osservare che si ha:

$ int e^{-cx} x dx = - int (del e^{-cx})/(del c) dx = - (del)/(del c) int e^{-cx} dx = - (del)/(del c) (- frac{e^{-cx}}{c}) + k $

$ int e^{-cx} x^2 dx = int (del^(\ 2)e^{-cx})/(del c^2) dx = (del^(\ 2))/(del c^2) int e^{-cx} dx = (del^(\ 2))/(del c^2) (- frac{e^{-cx}}{c}) + k $

ove nel tuo caso $c := 4/a $ e $x := r_2 $

[Mimmo931]

Grazie mille, gentilissimo