Integrale generalizzato non risolvibile direttamente

[TheNiteOwl]

Nel mio esame di Analisi 1, come esercizio "bonus" era inserito questo quesito:
1) Calcolare la derivata di \(\displaystyle \int_{x}^{x+\frac{1}{x}}e^{t^{2}}dt \)
2) Studiare \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty }\int_{x}^{x+\frac{1}{x}}e^{t^{2}}dt \)
Ora, la prima parte è semplice, basta applicare il teorema fondamentale del calcolo, quanto alla seconda parte, non sono riuscito ad arrivare ad un procedimento risolutivo, anche se so che il risultato corretto è diverge a più infinito (almeno da quello che ha detto l'assistente a fine compito). Qualche suggerimento su come risolverlo? Inizialmente ho pensato a maggiorazioni varie, ma non sono riuscito a trovare la funzione adatta, e non sono riuscito nemmeno a confrontarlo in maniera sensata con una serie numerica analoga. Il mio professore è praticamente irreperibile per mail, ed essendo fuori sede (e al momento a casa) non posso neanche sperare di incontrarlo di persona. Qualche suggerimento?

[spugna2]

Dovrebbe bastarti sapere che $e^{t^2}$ è crescente...

$\int_{x}^{x+\frac{1}{x}}e^{t^{2}}dt>\int_{x}^{x+\frac{1}{x}}e^{x^{2}}dt=\frac{e^{x^2}}{x}$

[anto_zoolander]

$int_(x)^(x+1/x)e^(t^2)dt$

Dunque per risolverlo potremmo cominciare con uno studio qualitativo. A noi sostanzialmente serve per $x$ 'molto grandi', quindi lavoriamo a destra. Fatto un po' lo studio del grafico, possiamo cercare di interpretarlo.

La base del trapezoide che consideriamo avere lunghezza $|(x+1/x)-x|=|1/x|$ che considererò $1/x$ in virtù dell'essere in un intorno di $+infty$.
Ora la cosa particolare è che se $x->+infty$ la base tende a un solo punto. Ma se la base è un solo punto, hai a disposizione una sola altezza che è proprio $e^(x^2)$.

$lim_(x->+infty)int_(x)^(x+1/x)e^(t^2)=lim_(x->+infty)e^(x^2)/x$

dove $1/x$ esprime il variare del'ampiezza della base, e il numeratore in virtù delle ipotesi che stiamo considerando la funzione solo a limite, il valore dell'altezza all'infinito. Quello che ci interessa è vedere cosa prevalga tra i due.

$lim_(x->+infty)(2xe^(x^2))/(1)=+infty$

NB: questa cosa di considerare il valore della funzione considerando un solo valore di $f$ è giustificarlo che la base degenera in un punto e dunque non possiamo scegliere tra più valori, ma solo quello.

Ho voluto esporre tutto il ragionamento che ho seguito, e che probabilmente ha seguito anche spugna. Infatti suppongo che lui abbia maggiorato/minorato con

$max{f(x+1/x),f(x)}$ oppure $min{f(x+1/x),f(x)}$

la funzione. Che sostanzialmente è un rettangolo che prende il massimo(o il minimo) della funzione nell'intervallo

$I=[x,x+1/x]$

Nota che $max,min$ all'infinito si perdono e diventano estremo superiore e inferiore, inoltre tendono a coincidere ragion per cui si può fare quel ragionamento. Spero di essere stato sufficientemente chiaro

Per il calcolo diretto

trovo

$min{e^(x^2),e^((x+1/x)^2)}=e^(x^2)$

$max{e^((x)^2),e^((x+1/x)^2)}=e^((x+1/x)^2)$

Giustamente risulterà $e^(x^2)leqe^(t^2)leqe^((x+1/x)^2),tin[x,x+1/x]$

Integrando rispetto a $t$ ottengo:

$int_(x)^(x+1/x)e^(x^2)dtleqint_(x)^(x+1/x)e^(t^2)dtleqint_(x)^(x+1/x)e^((x+1/x)^2)dt$

$e^(x^2)/xleqint_(x)^(x+1/x)e^(t^2)dtleqe^((x+1/x)^2)/x$

E si conclude