Integrale generalizzato e convergenza
Ciao a tutti, io ho il seguente esercizio che mi chiede di:
1) Calcolare una primitiva di f(x);
2) Provare che l'integrale generalizzato $ int_(0)^(+oo)f(x) dx $ converga e lo si calcoli.
Questa è f(x):
$ (e^x-1)/(e^(2x)-2e^x+2) $
Ora, i miei dubbi sono:
Come faccio a provare che l'integrale converge? con cosa lo confronto?
Calcolare una primitiva e calcolare l'integrale generalizzato non è la stessa cosa?
Grazie a tutti
1) Calcolare una primitiva di f(x);
2) Provare che l'integrale generalizzato $ int_(0)^(+oo)f(x) dx $ converga e lo si calcoli.
Questa è f(x):
$ (e^x-1)/(e^(2x)-2e^x+2) $
Ora, i miei dubbi sono:
Come faccio a provare che l'integrale converge? con cosa lo confronto?
Calcolare una primitiva e calcolare l'integrale generalizzato non è la stessa cosa?
Grazie a tutti
Risposte
Un integrale generalizzato (o improprio) è della forma
\[ \lim_{t \to t_0} { \int_{a}^{t} f(x) dx } \]
Ci sono vari modi per studiarne la convergenza; quello più semplice (e per questo spesso inapplicabile) è trovare la primitiva di $f(x)$, chiamiamola $F(x)$, e calcolare l'integrale definito. Sempre tenendo conto però che bisognerà fare $ \lim_{t \to t_0}{F(t)} $ per quanto riguarda l'estremo $t_0$.
Detto ciò, passiamo al tuo caso, in cui si può usare la maniera appena descritta:
Per calcolare questa primitiva ti conviene agire così:
Dividi numeratore e denominatore per $e^x - 1$. Otterrai:
\[ \int \frac{1}{ e^x - 1 + \frac{1}{e^x - 1}} dx \]
Ora,
\[ u = e^x - 1 \implies dx = \frac{1}{u-1} du \]
quindi
\[ \int \frac{1}{ (u + \frac{1}{u})(u - 1)} du \]
Adesso moltiplica numeratore e nominatore per $u$:
\[ \int \frac{u}{ (1 + u^2)(u - 1)} du \]
E da qui penso che tu riesca a proseguire facilmente
Una volta ottenuta la primitiva, non ti resta altro che valutare quanto valga per $ x = t \to + \infty$ e per $x= 0$.
\[ \lim_{t \to t_0} { \int_{a}^{t} f(x) dx } \]
Ci sono vari modi per studiarne la convergenza; quello più semplice (e per questo spesso inapplicabile) è trovare la primitiva di $f(x)$, chiamiamola $F(x)$, e calcolare l'integrale definito. Sempre tenendo conto però che bisognerà fare $ \lim_{t \to t_0}{F(t)} $ per quanto riguarda l'estremo $t_0$.
Detto ciò, passiamo al tuo caso, in cui si può usare la maniera appena descritta:
Per calcolare questa primitiva ti conviene agire così:
Dividi numeratore e denominatore per $e^x - 1$. Otterrai:
\[ \int \frac{1}{ e^x - 1 + \frac{1}{e^x - 1}} dx \]
Ora,
\[ u = e^x - 1 \implies dx = \frac{1}{u-1} du \]
quindi
\[ \int \frac{1}{ (u + \frac{1}{u})(u - 1)} du \]
Adesso moltiplica numeratore e nominatore per $u$:
\[ \int \frac{u}{ (1 + u^2)(u - 1)} du \]
E da qui penso che tu riesca a proseguire facilmente
Una volta ottenuta la primitiva, non ti resta altro che valutare quanto valga per $ x = t \to + \infty$ e per $x= 0$.
Grazie per avermi risposto 
Quindi una volta che ho ottenuto la primitiva vado a fare il limite per + infinito e poi per x=0, giusto?
Fatto ciò come faccio a verificare che l'integrale converge? Dal risultato del limite?
Quindi una volta che ho ottenuto la primitiva vado a fare il limite per + infinito e poi per x=0, giusto?
Fatto ciò come faccio a verificare che l'integrale converge? Dal risultato del limite?
Esatto, se il limite sarà un valore finito, allora vorrà dire che l'integrale converge. Se invece sarà un valore non finito, chiaramente divergerà.
"Berationalgetreal":
Ci sono vari modi per studiarne la convergenza; quello più semplice (e per questo spesso inapplicabile) è trovare la primitiva di f(x)
non direi
quello più semplice è vedere che a $+infty$ la funzione è asintotica a $e^(-x)$ che è ovviamente un infinitesimo di ordine superiore ad $1$ e quindi $+infty$ non dà problemi di convergenza
"quantunquemente":
[quote="Berationalgetreal"]Ci sono vari modi per studiarne la convergenza; quello più semplice (e per questo spesso inapplicabile) è trovare la primitiva di f(x)
non direi
quello più semplice è vedere che a $+infty$ la funzione è asintotica a $e^(-x)$ che è ovviamente un infinitesimo di ordine superiore ad $1$ e quindi $+infty$ non dà problemi di convergenza[/quote]
Come hai trovato che è asintotica a $ e^(-x) $?
il numeratore è asintotico a $e^x$ ed il denominatore a $e^(2x)$
"quantunquemente":
[quote="Berationalgetreal"]Ci sono vari modi per studiarne la convergenza; quello più semplice (e per questo spesso inapplicabile) è trovare la primitiva di f(x)
non direi
quello più semplice è vedere che a $+infty$ la funzione è asintotica a $e^(-x)$ che è ovviamente un infinitesimo di ordine superiore ad $1$ e quindi $+infty$ non dà problemi di convergenza[/quote]
L'esercizio in ogni caso chiede di trovare una primitiva per la funzione. Quindi calcolare direttamente il valore della primitiva per l'estremo che tende a $+ \infty$ è la via più veloce e semplice; la metà della "fatica" è già stata fatta nel punto 1. Poi vabbè sono opinioni
Giusto hai ragione.
Nel caso avessi avuto gli estremi di integrazione finiti (per esempio $ int_(a)^(b) f(x) dx $ ), come faccio a capire se ho un integrale improprio ( quindi essere in uno dei seguenti casi: \( \sqsubset a,b\sqsubset - \sqsupset a,b\sqsupset - \sqsupset a,b\sqsubset \) ) o proprio? Nel caso che ho posto un estremo tende a più infinito e quindi per definizione ho un integrale improprio, ma nel caso di estremi finiti non saprei come ragionare..
Nel caso avessi avuto gli estremi di integrazione finiti (per esempio $ int_(a)^(b) f(x) dx $ ), come faccio a capire se ho un integrale improprio ( quindi essere in uno dei seguenti casi: \( \sqsubset a,b\sqsubset - \sqsupset a,b\sqsupset - \sqsupset a,b\sqsubset \) ) o proprio? Nel caso che ho posto un estremo tende a più infinito e quindi per definizione ho un integrale improprio, ma nel caso di estremi finiti non saprei come ragionare..
ma infatti io mi riferivo al caso in cui si voglia provare la convergenza e basta : in quel caso sconsiglio vivamente di rompersi la testa con la ricerca della primitiva
"Berationalgetreal":
Un integrale generalizzato (o improprio) è della forma
\[ \lim_{t \to t_0} { \int_{a}^{t} f(x) dx } \]
Ci sono vari modi per studiarne la convergenza; quello più semplice (e per questo spesso inapplicabile) è trovare la primitiva di $ f(x) $, chiamiamola $ F(x) $, e calcolare l'integrale definito. Sempre tenendo conto però che bisognerà fare $ \lim_{t \to t_0}{F(t)} $ per quanto riguarda l'estremo $ t_0 $.
Detto ciò, passiamo al tuo caso, in cui si può usare la maniera appena descritta:
Per calcolare questa primitiva ti conviene agire così:
Dividi numeratore e denominatore per $ e^x - 1 $. Otterrai:
\[ \int \frac{1}{ e^x - 1 + \frac{1}{e^x - 1}} dx \]
Ora,
\[ u = e^x - 1 \implies dx = \frac{1}{u-1} du \]
quindi
\[ \int \frac{1}{ (u + \frac{1}{u})(u - 1)} du \]
Adesso moltiplica numeratore e nominatore per $ u $:
\[ \int \frac{u}{ (1 + u^2)(u - 1)} du \]
E da qui penso che tu riesca a proseguire facilmente
Una volta ottenuta la primitiva, non ti resta altro che valutare quanto valga per $ x = t \to + \infty $ e per $ x= 0 $.
Se al posto di calcolare la primitiva come fai tu, io vado a sostituire: $ t=e^x $ , ottengo $ dx=1/tdt $, cioè l'integrale diventa:
$ int_(1)^(+oo) (t-1)/(t(t^2-2t+2))dt $
Se non ci fosse quella t davanti alla parentesi al denominatore non sarebbe nulla di complicato. Ma in questo caso, essendoci quella t, come mi devo comportare per far apparire la derivata del denominatore al numeratore?
E' una razionale fratta, quindi bisogna utilizzare la scomposizione in frazioni parziali e dividerla in più integrali. Magari però semplifichiamo leggermente i calcoli prima di scomporre.
Dividiamo in due l'integrale:
\[ \int \frac{t - 1}{t(t^2 - 2t + 2)} dt = \int \frac{1}{t^2 - 2t + 2} dt - \int \frac{1}{t(t^2 - 2t + 2)} dt \]
Ora abbiamo che
\[ \int \frac{1}{t^2 - 2t + 2} dt = \int \frac{1}{(t - 1)^2 + 1} dt = \arctan (t - 1) + c \]
e ciò che ti rimane da integrare è una semplice funzione razionale, quindi non ci dovrebbero essere problemi
Dividiamo in due l'integrale:
\[ \int \frac{t - 1}{t(t^2 - 2t + 2)} dt = \int \frac{1}{t^2 - 2t + 2} dt - \int \frac{1}{t(t^2 - 2t + 2)} dt \]
Ora abbiamo che
\[ \int \frac{1}{t^2 - 2t + 2} dt = \int \frac{1}{(t - 1)^2 + 1} dt = \arctan (t - 1) + c \]
e ciò che ti rimane da integrare è una semplice funzione razionale, quindi non ci dovrebbero essere problemi
Io ho uno svolgimento di questo esercizio e non mi sono chiari questi passaggi:
Sopratutto non riesco a capire da dove salta fuori quel due a denominatore davanti alla t, $ -1/(2t) $ e poi il 4 davanti alla parentesi a denominatore nel terzo passaggio...
Sopratutto non riesco a capire da dove salta fuori quel due a denominatore davanti alla t, $ -1/(2t) $ e poi il 4 davanti alla parentesi a denominatore nel terzo passaggio...
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