Integrale generalizzato di Lebesgue

[Riccardo Desimini]

In questa tesi (pag. 29 del documento, equazione (2.1)) ho trovato la scrittura
\[ \lim_{\lambda \to +\infty} \int_0^{\lambda} f(t)e^{-st}\, \text{d}t \]
per denotare la definizione di integrale generalizzato, ma mi viene il dubbio: dato che quello a destra è un integrale di Lebesgue, che senso ha fare una cosa del genere? In fondo l'integrale di Lebesgue non ha questo tipo di problema, perché se \( t \mapsto f(t) e^{-st} \) è integrabile io scrivo direttamente
\[ \int_0^{+\infty} f(t)e^{-st}\, \text{d}t \]
senza neanche pormi il problema.

Sbaglio io?

[gugo82]

L'autore sta supponendo integrabilità locale di \(f(t)\) (e quindi di \(f(t)e^{-st}\), data la continuità del secondo fattore)... Quindi quel limite ha senso.

[Riccardo Desimini]

Ah, forse inizio a capire: in pratica se ad esempio io avessi messo nelle ipotesi che \( t \mapsto f(t)e^{-st} \in L^1(\mathbb{R}) \) (oppure più semplicemente che \( t \mapsto f(t)e^{-st} \) è integrabile secondo Lebesgue su \( \mathbb{R} \)) il limite non aveva senso, mentre invece, dato che l'integrabilità è solo locale, devo verificare che ci sia la convergenza dell'integrale all'infinito, giusto?

(Tra l'altro, detto tra noi, questo spiegherebbe come fa poi l'autore a parlare di ascissa di convergenza semplice anche parlando dell'integrale di Lebesgue, cosa che prima non avevo capito)